eduKate · 8–10 वर्ष · भिन्न और बराबर हिस्से
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पूरा बताएँ, बराबर हिस्से जाँचें और भिन्न समझाएँ।
अध्याय-सूची · सुधार का उदाहरण · चर्चा और जाँच · शब्दावली लेख
ये 20 शब्द बच्चों को बताई पूर्ण इकाई, बराबर हिस्सों और भिन्न के रूप से जोड़ते हैं। 8–10 वर्ष लचीला आयु-सुझाव है। पहले पूर्ण इकाई, हिस्सा, बराबर, आधा और चौथाई लें। बच्चा अपने शब्दों में विचार बता सके तब अंश और हर जोड़ें। छोटे अभ्यास पर्याप्त हैं।
हर क्रमांक-कार्ड में अंग्रेज़ी, मंदारिन, हिन्दी और रूसी है। परिचित भाषा में समझें, फिर उसी शब्द-क्रमांक से दूसरी भाषा में जाएँ। चारों साथ सीखना वैकल्पिक है। परिचित भाषा में सही कारण नई भाषा के वाक्य का उपयोगी आधार है।
मंदारिन में सरल अक्षर और स्वर-चिह्न वाला पिनयिन है। हिन्दी और रूसी रोमन रूप लगभग पढ़ने के संकेत हैं। रूसी बलाघात सीखने के लिए हैं, सामान्य लेखन में प्रायः नहीं होते। मंदारिन 3/4 को 四分之三 कहता है: पहले हर, फिर अंश; लिखे अंक फिर भी तीन चौथाई हैं। यहाँ अंश और हर भिन्न के पद हैं। आकार और आकृति क्रमशः size और shape के लिए हैं; रोज़मर्रा प्रयोग मिल सकते हैं।
अध्याय-सूची
अध्याय 1–4
अध्याय 5–8
अध्याय 9–12
भिन्न किसी इकाई के सापेक्ष संख्या है। हमारे क्षेत्रफल मॉडल में पूरा क्षेत्र एक पूर्ण इकाई है। पहले उसे पहचानें, फिर विभाजन जाँचें। यहाँ बराबर हिस्सों का क्षेत्रफल समान चाहिए; रूपरेखा एक जैसी होना आवश्यक नहीं। पाठ समान इकाई वर्गों की दी गिनती इस्तेमाल करता है, स्क्रीन का माप नहीं।
सुधार का उदाहरण
सुधार: ‘चार दो से बड़ा है, इसलिए चौथाई आधे से बड़ा है।’ पूर्णांकों की सही तुलना रखें: 4, 2 से बड़ा है। अब पूछें वे क्या गिनते हैं। वे उसी पूर्ण इकाई के बराबर हिस्से गिनते हैं। 12 वर्ग इकाई के पूरे को दो बराबर हिस्सों में बाँटें तो हर एक 6; चार में बाँटें तो हर एक 3। इसलिए चौथाई आधे से छोटा है। अधिक हिस्सों का मतलब हर हिस्से का अधिक क्षेत्रफल नहीं।
बराबर हिस्से एक शर्त हैं। 2, 3, 3 और 4 वर्ग इकाई के चार टुकड़ों का कुल 12 है, पर सभी चौथाई नहीं। 3 वाला टुकड़ा सच में कुल क्षेत्रफल का चौथाई है; असमान चार-टुकड़ा विभाजन हर टुकड़े को चौथाई नहीं बनाता। मात्रा का संबंध देखें, केवल टुकड़े नहीं।
हर पंक्ति में भाषाएँ जोड़ें, फिर पूरा वाक्य पढ़ें। यहाँ अंश चुने बराबर हिस्से और हर पूर्ण इकाई के सभी बराबर हिस्से गिनता है, चुने हुए भी। 3/4 में चार में तीन चुने, एक बचा; हर फिर भी 4 है, 1 नहीं।
भिन्न संख्या और वास्तविक मात्रा अलग समझें। संख्या के रूप में 1/2, 1/4 से बड़ा है। वास्तविक क्षेत्रों के हिस्सों की तुलना में पूर्ण इकाई भी बताएँ: छोटे क्षेत्र का आधा बड़े के चौथाई से छोटा हो सकता है। शुरुआती तुलना में पूरा क्षेत्रफल समान है; आगे इसे जानबूझकर बदलते हैं।
1. पूर्ण इकाई · whole
हिन्दी: पूर्ण इकाई (pūrṇa ikāī)
भिन्न के लिए एक इकाई मानी गई पूरी मात्रा।
भिन्न बताने से पहले पूर्ण इकाई बताते हैं।
English: whole
The complete amount chosen as one unit for the fraction.
We name the whole before naming its fraction.
中文（普通话）: 整体 (zhěngtǐ)
在分数中选作一个单位的完整数量。
说分数前，我们先说清整体。
Русский: це́лое (tseloye)
Полное количество, выбранное за одну единицу для дроби.
Прежде чем назвать дробь, мы определяем целое.
आज़माएँ: एक पूर्ण इकाई वाला पूरा क्षेत्र बताएँ।
2. हिस्सा · part
हिन्दी: हिस्सा (hissā)
पूर्ण इकाई की मात्रा का हिस्सा; हिस्से अपने आप बराबर नहीं होते।
इस हिस्से में तीन बराबर इकाई वर्ग हैं।
English: part
An amount belonging to a whole; parts are not automatically equal.
This part contains three equal unit squares.
中文（普通话）: 部分 (bùfen)
属于整体的一部分数量；各部分不自动相等。
这部分包含三个相同单位方格。
Русский: часть (chast)
Количество, входящее в целое; части не обязательно равны.
Эта часть содержит три равных единичных квадрата.
आज़माएँ: भिन्न-नाम बिना हिस्सा हो सकता है? समझाएँ।
3. बराबर · equal
हिन्दी: बराबर (barābar)
तुलना की मात्रा में समान।
चारों हिस्सों का क्षेत्रफल बराबर है।
English: equal
The same in the quantity being compared.
The four parts have equal area.
中文（普通话）: 相等的 (xiāngděng de)
所比较的数量相同。
四部分面积相等。
Русский: ра́вный (ravnyy)
Одинаковый по сравниваемой величине.
У четырёх частей равная площадь.
आज़माएँ: मॉडल में कौन-सी मात्रा बराबर है?
4. असमान · unequal
हिन्दी: असमान (asamān)
तुलना की मात्रा में अलग।
2, 3, 3 और 4 वर्ग इकाई वाले हिस्से असमान हैं।
English: unequal
Different in the quantity being compared.
Parts of 2, 3, 3 and 4 square units are unequal.
中文（普通话）: 不相等的 (bù xiāngděng de)
所比较数量不同。
面积为2、3、3、4平方单位的部分不相等。
Русский: нера́вный (neravnyy)
Различающийся по сравниваемой величине.
Части площадью 2, 3, 3 и 4 квадратные единицы неравны.
आज़माएँ: चौथाई कहने से पहले 2, 3, 3, 4 तुलना करें।
5. बाँटना · share
हिन्दी: बाँटना (bā̃ṭnā)
हिस्से देना; बराबर बाँटना एक खास नियम है।
इस काम में क्षेत्रफल बराबर बाँटते हैं।
English: share
To allocate portions; equal sharing is one particular rule.
In this task we share the area equally.
中文（普通话）: 分配 (fēnpèi)
分给各份；平均分配是其中一种规则。
本题按面积平均分配。
Русский: распределя́ть (raspredelyat)
Выделять доли; распределение поровну — одно из возможных правил.
В этом задании мы распределяем площадь поровну.
आज़माएँ: इस काम का बराबर बाँटने का नियम बताएँ।
6. विभाजित करना · divide
हिन्दी: विभाजित करना (vibhājit karnā)
पूर्ण इकाई को हिस्सों में करना; हमारे मॉडल में बराबर क्षेत्रफल चाहिए।
बारह वर्ग इकाई चार बराबर क्षेत्रफल वाले हिस्सों में विभाजित करते हैं।
English: divide
To separate a whole into parts; our fraction model requires equal areas.
We divide twelve square units into four equal-area parts.
中文（普通话）: 划分 (huàfēn)
把整体划成部分；本分数模型要求各份面积相等。
我们把十二平方单位划分成四个等面积部分。
Русский: дели́ть (delit)
Разделять целое на части; в нашей модели нужны равные площади.
Мы делим двенадцать квадратных единиц на четыре равные по площади части.
आज़माएँ: बारह वर्ग इकाई चार बराबर हिस्सों में बताएँ।
7. आधा · half
हिन्दी: आधा (ādhā)
बताई पूर्ण इकाई के दो बराबर हिस्सों में एक।
हमारी बारह-वर्ग पूर्ण इकाई का आधा छह वर्ग इकाई है।
English: half
One of two equal parts of a named whole.
Half of our twelve-square whole is six square units.
中文（普通话）: 二分之一 (èr fēn zhī yī)
指定整体的两个相等部分之一。
十二方格整体的二分之一是六平方单位。
Русский: полови́на (polovina)
Одна из двух равных частей названного целого.
Половина нашего целого из двенадцати квадратов — шесть квадратных единиц.
आज़माएँ: बारह वर्ग इकाई का आधा खोजें।
8. चौथाई · quarter
हिन्दी: चौथाई (cauthāī)
बताई पूर्ण इकाई के चार बराबर हिस्सों में एक।
बारह वर्ग इकाई का चौथाई तीन वर्ग इकाई है।
English: quarter
One of four equal parts of a named whole.
A quarter of twelve square units is three square units.
中文（普通话）: 四分之一 (sì fēn zhī yī)
指定整体的四个相等部分之一。
十二平方单位的四分之一是三平方单位。
Русский: че́тверть (chetvert)
Одна из четырёх равных частей названного целого.
Четверть двенадцати квадратных единиц — три квадратные единицы.
आज़माएँ: उसी पूरे का चौथाई खोजकर आधे से तुलना करें।
9. तिहाई · third
हिन्दी: तिहाई (tihāī)
बताई पूर्ण इकाई के तीन बराबर हिस्सों में एक।
बारह वर्ग इकाई का तिहाई चार वर्ग इकाई है।
English: third
One of three equal parts of a named whole.
A third of twelve square units is four square units.
中文（普通话）: 三分之一 (sān fēn zhī yī)
指定整体的三个相等部分之一。
十二平方单位的三分之一是四平方单位。
Русский: треть (tret)
Одна из трёх равных частей названного целого.
Треть двенадцати квадратных единиц — четыре квадратные единицы.
आज़माएँ: मॉडल में तिहाई चार क्यों है?
10. भिन्न · fraction
हिन्दी: भिन्न (bhinn)
अंश को गैर-शून्य हर के ऊपर लिखकर दर्शाई गई संख्या; शुरुआत एक पूर्ण इकाई के बराबर हिस्सों से है।
भिन्न 3/4 चार बराबर हिस्सों में तीन बताता है।
English: fraction
A number written here as a numerator over a non-zero denominator; we begin with equal parts within one whole.
The fraction 3/4 represents three of four equal parts.
中文（普通话）: 分数 (fēnshù)
本课写成分子在上、非零分母在下的数；先学习一个整体内的相等部分。
分数3/4表示四个相等部分中的三个。
Русский: дробь (drob)
Число, записанное здесь числителем над ненулевым знаменателем; начинаем с равных частей одного целого.
Дробь 3/4 обозначает три из четырёх равных частей.
आज़माएँ: 3/4 को चार बराबर हिस्सों में चुने तीन पढ़ें।
11. अंश · numerator
हिन्दी: अंश (aṃś)
इस हिस्से-पूर्ण मॉडल में चुने बराबर हिस्सों की संख्या।
3/4 में अंश 3 चुने चौथाई हिस्से गिनता है।
English: numerator
In this part-whole model, the number of equal parts selected.
In 3/4, the numerator 3 counts the selected quarters.
中文（普通话）: 分子 (fēnzǐ)
在本部分与整体模型中，表示选取几份的数。
3/4中，分子3数选出的三份四分之一。
Русский: числи́тель (chislitel)
В этой модели — число выбранных равных частей.
В 3/4 числитель 3 считает выбранные четверти.
आज़माएँ: 3/4 में चुने चौथाई गिनने वाला अंक बताएँ।
12. हर · denominator
हिन्दी: हर (har)
इस मॉडल में पूर्ण इकाई बनाने वाले बराबर हिस्सों की कुल संख्या।
3/4 में हर 4 सभी चार हिस्से गिनता है, चुने हुए भी।
English: denominator
In this model, the total number of equal parts making one whole.
In 3/4, denominator 4 counts all four parts, including the selected ones.
中文（普通话）: 分母 (fēnmǔ)
本模型中，组成一个整体的相等部分总份数。
3/4中，分母4数全部四份，包括已选的部分。
Русский: знамена́тель (znamenatel)
В этой модели — общее число равных частей, составляющих целое.
В 3/4 знаменатель 4 считает все четыре части, включая выбранные.
आज़माएँ: चुने हिस्से भी लेकर सभी चार गिनें।
13. इकाई भिन्न · unit fraction
हिन्दी: इकाई भिन्न (ikāī bhinn)
अंश 1 और धनात्मक पूर्णांक हर वाला भिन्न।
1/4 एक इकाई भिन्न है।
English: unit fraction
A fraction with numerator 1 and a positive whole-number denominator.
One quarter, 1/4, is a unit fraction.
中文（普通话）: 单位分数 (dānwèi fēnshù)
分子为1、分母为正整数的分数。
四分之一1/4是单位分数。
Русский: едини́чная дробь (yedinichnaya drob)
Дробь с числителем 1 и положительным целым знаменателем.
Одна четверть, 1/4, — единичная дробь.
आज़माएँ: 1/4 इकाई भिन्न और 3/4 क्यों नहीं?
14. आकार · size
हिन्दी: आकार (ākār)
बताए माप से वस्तु का फैलाव या मात्रा।
हिस्सों का आकार क्षेत्रफल से तुलना करते हैं, कोनों से नहीं।
English: size
How much space or quantity something has, using a stated measure.
We compare the parts’ size by area, not by the number of corners.
中文（普通话）: 大小 (dàxiǎo)
按说清楚的测量方式，物体有多大或有多少。
我们按面积比较部分大小，不数角。
Русский: разме́р (razmer)
Величина предмета или количества по названной мере.
Мы сравниваем размер частей по площади, не по числу углов.
आज़माएँ: हिस्से का आकार किस माप से तुलना करेंगे?
15. आकृति · shape
हिन्दी: आकृति (ākṛti)
आकृति की रूपरेखा या व्यवस्था।
अलग आकृतियों का क्षेत्रफल बराबर हो सकता है।
English: shape
The outline or arrangement of a figure.
Different shapes can have equal area.
中文（普通话）: 形状 (xíngzhuàng)
图形的轮廓或排列方式。
不同形状可以有相等面积。
Русский: фо́рма (forma)
Очертание или устройство фигуры.
Разные формы могут иметь равную площадь.
आज़माएँ: तीन समान इकाई वर्ग बिना चढ़ाए सजाएँ।
16. क्षेत्रफल · area
हिन्दी: क्षेत्रफल (kṣetraphal)
समतल क्षेत्र का फैलाव, वर्ग इकाई में मापा गया।
बारह बराबर इकाई वर्ग बारह वर्ग इकाई क्षेत्रफल ढकते हैं।
English: area
The amount of surface a flat region covers, measured in square units.
Twelve equal unit squares cover an area of twelve square units.
中文（普通话）: 面积 (miànjī)
平面区域覆盖的大小，以平方单位测量。
十二个相同单位方格覆盖十二平方单位面积。
Русский: пло́щадь (ploshchad)
Величина плоской области, измеряемая в квадратных единицах.
Двенадцать равных единичных квадратов покрывают двенадцать квадратных единиц.
आज़माएँ: खाली जगह या चढ़ाव क्षेत्रफल-गिनती क्यों बिगाड़ता है?
17. तुलना करना · compare
हिन्दी: तुलना करना (tulnā karnā)
स्पष्ट आधार से मात्राएँ देखना।
हम उसी पूर्ण इकाई के आधे और चौथाई की तुलना करते हैं।
English: compare
To examine quantities using a clear basis.
We compare a half and a quarter of the same whole.
中文（普通话）: 比较 (bǐjiào)
按清楚依据考察数量关系。
我们比较同一整体的二分之一与四分之一。
Русский: сра́внивать (sravnivat)
Рассматривать величины по ясному основанию.
Мы сравниваем половину и четверть одного целого.
आज़माएँ: पूरा बताकर हिस्सों की तुलना करें।
18. मिलाना · combine
हिन्दी: मिलाना (milānā)
हिस्से साथ रखना; हमारे क्षेत्रफल मॉडल में बिना चढ़ाए हर हिस्सा एक बार गिनें।
दो चौथाई मिलाकर उसी पूर्ण इकाई का आधा बनाते हैं।
English: combine
To put parts together; count each part once, with no overlap in our area model.
We combine two quarters to make one half of the same whole.
中文（普通话）: 合并 (hébìng)
把部分放在一起；本面积模型中不重叠，每份数一次。
我们合并两个四分之一，得到同一整体的二分之一。
Русский: объединя́ть (obyedinyat)
Соединять части; в нашей модели площади без наложения и повторного счёта.
Мы объединяем две четверти в половину того же целого.
आज़माएँ: उसी पूरे के दो बिना चढ़े चौथाई मिलाएँ।
19. समझाना · explain
हिन्दी: समझाना (samjhānā)
मॉडल और उत्तर का संबंध कारण सहित बताना।
समझाता हूँ कि उसी पूर्ण इकाई के चार बराबर हिस्सों में हर हिस्सा दो बराबर हिस्सों के हर हिस्से से छोटा क्यों है।
English: explain
To give a reason connecting the model and the answer.
I explain why four equal parts are smaller than two equal parts of the same whole.
中文（普通话）: 解释 (jiěshì)
说明模型与答案之间的理由。
我解释同一整体分四等份时，每份为何小于分两等份时的每份。
Русский: объясня́ть (obyasnyat)
Указывать причину, связывающую модель и ответ.
Я объясняю, почему каждая из четырёх равных частей целого меньше каждой из двух равных частей того же целого.
आज़माएँ: एक सुधार पूरा कारण देकर समझाएँ।
20. जाँचना · check
हिन्दी: जाँचना (jā̃cnā)
हिस्से, भिन्न और बताई पूर्ण इकाई का मेल जाँचना।
भिन्न के हिस्से गिनने से पहले बराबरी जाँचते हैं।
English: check
To test whether the parts, fraction and named whole agree.
We check equality before counting fraction parts.
中文（普通话）: 检查 (jiǎnchá)
核对部分、分数与指定整体是否一致。
我们先检查各份相等，再数分数份数。
Русский: проверя́ть (proveryat)
Убеждаться, что части, дробь и названное целое согласуются.
Мы проверяем равенство частей до их подсчёта для дроби.
आज़माएँ: पूर्ण इकाई, बराबर क्षेत्रफल, चुने हिस्से इसी क्रम में जाँचें।
मौलिक काल्पनिक कहानी में A और B पूरे क्षेत्र हैं, हर एक 12 वर्ग इकाई। पूरे पाठ में इकाई वर्ग समान आकार के हैं। बिना खाली जगह या चढ़ाव के क्षेत्र पूरा ढकता है। A दो बराबर 6 वाले, B चार बराबर 3 वाले हिस्सों में है। तालिका क्षेत्रफल बताती है, पैमाने वाला चित्र नहीं।
उसी पूरे को तीन बराबर हिस्सों में बाँटें तो हर एक 4, अर्थात तिहाई। B के दो बिना चढ़े चौथाई मिलाएँ तो 3 + 3 = 6 वर्ग इकाई, जो 12 वाले पूरे का आधा है। वही क्षेत्रफल 2/4 और 1/2 से बताया जा सकता है। और चौथाई चुनने से चुने हिस्से बढ़ते हैं, पूरे के हिस्सों की संख्या नहीं।
| क्षेत्र | पूरा क्षेत्रफल (वर्ग इकाई) | पूरे के बराबर हिस्से | हर हिस्से का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई) | एक हिस्से का भिन्न |
|---|---|---|---|---|
| A | 12 | 2 | 6 | 1/2 |
| B | 12 | 4 | 3 | 1/4 |
हिन्दी · अधिक हिस्से, छोटा हर हिस्सा
मीरा और इवो दो पूरे क्षेत्रों का काल्पनिक अभिलेख पढ़ते हैं। A और B दोनों का क्षेत्रफल बारह वर्ग इकाई है। इकाई वर्ग समान हैं, न खाली जगह है न चढ़ाव। A में दो बराबर-क्षेत्रफल हिस्से, B में चार हैं। हिस्सों का क्षेत्रफल पढ़ने से पहले इवो कहता है, ‘चार दो से बड़ा है, इसलिए B का चौथाई A के आधे से बड़ा होगा।’ मीरा पूर्वानुमान लिखती है।
वे A जाँचते हैं। बारह वर्ग इकाई दो में बराबर बँटी हैं, हर हिस्सा छह है। B में वही कुल चार में बराबर बँटा है, हर एक तीन। इवो कहता है, ‘चार और दो की तुलना सही थी, पर मैंने गलत चीज़ के लिए लगाई। वे हिस्से गिनते हैं, एक हिस्से का क्षेत्रफल नहीं।’
मीरा B के चार बराबर हिस्सों में एक चुनती है: 1/4, एक चौथाई। फिर दूसरा चुनती है, कोई क्षेत्र दो बार नहीं गिनती। दोनों मिलकर छह वर्ग इकाई, A के आधे के बराबर हैं। इन समान पूरे के लिए वे 2/4 = 1/2 लिखते हैं।
इवो B का तीसरा चौथाई चुनकर 3/1 लिखता है, क्योंकि एक हिस्सा बचा। मीरा पूछती है हर क्या गिनता है। तीन चुने और एक बचा मिलकर पूरे के चार हिस्से हैं। सही भिन्न 3/4 है। अंश तीन चुने हिस्से, हर सभी चार बराबर हिस्से गिनता है।
नई प्रविष्टि में दो, तीन, तीन और चार क्षेत्रफल वाले असमान टुकड़े हैं। कुल बारह है, पर इवो पहले जाँचता है। ‘केवल चार टुकड़े हर एक को चौथाई नहीं बनाते,’ वह कहता है। ‘इस मॉडल में बराबर क्षेत्रफल चाहिए।’
अंत में अलग पूरे तुलना करते हैं: आठ वर्ग इकाई का आधा चार; बीस का चौथाई पाँच। मीरा नोट जोड़ती है: ‘हर बार पूर्ण इकाई बताएँ।’ दोनों पहले प्रयासों के पास सुधार रखते हैं, ताकि बदला चरण समझा सकें।
English · More Parts, Smaller Pieces
Mira and Ivo read an invented record about two complete regions. Both A and B have area twelve square units. All the unit squares are the same size, and there are no gaps or overlaps. A has two equal-area parts. B has four. Before reading the part areas, Ivo predicts, “Four is bigger than two, so B’s quarter must be bigger than A’s half.” Mira writes his prediction down.
They check A. Its twelve square units are divided equally between two parts, so each has area six. In B the same total area is divided equally among four parts, each with area three. “My comparison of four and two was right,” Ivo says, “but I used it for the wrong thing. Those numbers count parts, not the area in one part.”
Mira selects one of B’s four equal parts. They call it 1/4, one quarter. Then she selects a second quarter without counting any area twice. Together the two parts cover six square units, just like a half of A. They write 2/4 = 1/2 for these equal-sized wholes.
Ivo selects a third quarter of B and writes 3/1 because one part remains unselected. Mira asks what the denominator counts. They count every part in B: three selected and one unselected make four. The correct fraction is 3/4. The numerator counts three selected parts; the denominator counts all four equal parts in the whole.
A new record shows four unequal pieces with areas two, three, three and four. They total twelve, but Ivo checks before naming them. “Four pieces alone do not make every piece a quarter,” he explains. “We need equal areas for that model.”
Finally they compare different wholes: half of an eight-square-unit region has area four; a quarter of a twenty-square-unit region has area five. Mira adds a note: “Name the whole each time.” They keep both corrections beside their first attempts so they can explain which step changed.
中文（普通话） · 份数更多，每份更小
米拉和伊沃读一份关于两个完整区域的虚构记录。A、B面积都为十二平方单位，所有单位方格大小相同，没有空隙与重叠。A分两等份，B分四等份。还没读每份面积，伊沃就预测：“4比2大，所以B的四分之一一定比A的一半大。”米拉写下预测。
他们先检查A：十二平方单位平均分两份，每份六。B把同样总面积平均分四份，每份三。伊沃说：“4和2的比较是对的，但我用错了对象。它们数份数，不数每份面积。”
米拉选B四等份中的一份，叫1/4。再选第二份，没有重复计算任何面积。两份合计六平方单位，和A的一半一样。他们针对这些等大整体写下2/4＝1/2。
伊沃再选B第三份，因为剩一份未选，写成3/1。米拉问分母数什么。他们把B所有部分都数上：三份已选加一份未选，共四份。正确分数是3/4，分子数选出的三份，分母数整体全部四等份。
新记录给出面积二、三、三、四的四块，总数仍十二。伊沃先检查再命名：“只有四块，不代表每块都是四分之一；这种模型还要面积相等。”
最后比较不同整体：八平方单位的一半是四，二十平方单位的四分之一是五。米拉补充：“每次都要说清整体。”他们把两次修正留在初答旁，方便解释改变了哪一步。
Русский · Больше частей, меньше каждая
Мира и Иво читают вымышленную запись о двух целых областях. A и B имеют площадь по двенадцать квадратных единиц. Все единичные квадраты одинаковы, промежутков и наложений нет. A разделена на две равные по площади части, B — на четыре. Иво предсказывает: «Четыре больше двух, значит, четверть B должна быть больше половины A». Мира записывает предсказание.
Они проверяют A: двенадцать квадратных единиц делятся поровну между двумя частями, каждая по шесть. В B та же площадь делится на четыре, каждая по три. «Сравнение четырёх и двух верное, но я применил его не к тому, — говорит Иво. — Эти числа считают части, а не площадь одной части».
Мира выбирает одну из четырёх равных частей B: 1/4, одну четверть. Затем выбирает вторую без повторного счёта площади. Вместе это шесть квадратных единиц, как половина A. Для этих равных по размеру целых они пишут 2/4 = 1/2.
Иво выбирает третью четверть B и пишет 3/1, потому что одна часть не выбрана. Мира спрашивает, что считает знаменатель. Три выбранные и одна невыбранная составляют четыре части целого. Верная дробь — 3/4. Числитель считает три выбранные части, знаменатель — все четыре равные части целого.
Новая запись показывает четыре неравных куска площадью два, три, три и четыре. Вместе двенадцать, но Иво сначала проверяет: «Четырёх кусков недостаточно, чтобы каждый был четвертью. Для этой модели нужны равные площади».
Наконец они сравнивают разные целые: половина области площадью восемь равна четырём, четверть области площадью двадцать — пяти. Мира добавляет: «Каждый раз называйте целое». Они сохраняют исправления рядом с первыми ответами, чтобы объяснить изменившийся шаг.
एक बार एक प्रश्न लें। पूर्ण इकाई, तुलना की मात्रा और कारण पूछें। बोलें, चित्र बनाएँ या पहले परिचित भाषा लें। उत्तर-सहायता जाँच के लिए है; समझने से पहले शब्द बोलने की दौड़ नहीं।
1. A और B हर पूरे का क्षेत्रफल कितना है?
2. A का आधा कितना है?
3. B का चौथाई कितना है?
4. यहाँ बड़ा हर छोटा इकाई भिन्न क्यों देता है?
5. B के दो चौथाई मिलकर क्या हैं?
6. 3/4 में हर 4 क्या गिनता है?
7. 2, 3, 3, 4 वाले चार टुकड़े सभी चौथाई हैं?
8. क्या बराबर क्षेत्रफल में आकृति एक-जैसी चाहिए?
9. C के 8 का आधा या D के 20 का चौथाई, किसका क्षेत्रफल अधिक है?
10. क्या इससे संख्या 1/2 > 1/4 बदलती है?
चर्चा में सहायता
- हर एक बारह वर्ग इकाई, इकाई वर्ग समान आकार के हैं।
- छह वर्ग इकाई: बारह दो बराबर-क्षेत्रफल हिस्सों में।
- तीन वर्ग इकाई: बारह चार बराबर-क्षेत्रफल हिस्सों में।
- उसी पूरे के अधिक बराबर हिस्से होने से हर हिस्से का क्षेत्रफल कम है।
- छह वर्ग इकाई, उसी बारह वाले पूरे का आधा; 2/4 = 1/2।
- पूरे के सभी चार बराबर हिस्से, चुने तीन भी।
- नहीं। असमान हैं। 3 वाला हर टुकड़ा 12 का चौथाई है; 2 और 4 वाले नहीं।
- नहीं। समान क्षेत्रफल अलग आकृति में हो सकता है; समान वर्ग बिना खाली जगह या चढ़ाव गिनें।
- D का चौथाई: 5 वर्ग इकाई, C के आधे 4 से अधिक। पूरे अलग हैं।
- नहीं। भिन्न संख्याओं के मान वही हैं; वास्तविक क्षेत्रफल अलग पूरे से हैं।
एक बार पाँच से दस शांत मिनट पर्याप्त हो सकते हैं। ज़रूरत पर दिन दोहराएँ। परिचित भाषा में आधा समझना दूसरी भाषा में हर के बारे में धाराप्रवाह बोलने से पहले आ सकता है। थोड़े शब्द सक्रिय रखें, तैयार होने पर अगला समूह जोड़ें।
| दिन | शब्द | छोटी गतिविधि | क्या देखें |
|---|---|---|---|
| 1 | 1–5 | पूरा और बराबर बाँटी मात्रा बताएँ। | बराबर यहाँ क्षेत्रफल है। |
| 2 | 6–10 | बारह वर्ग इकाई का आधा, तिहाई, चौथाई बताएँ। | हर हिस्से का क्षेत्रफल गिनें। |
| 3 | 11–15 | 3/4 पढ़कर दोनों अंक समझाएँ। | हर में चुने और बचे दोनों हैं। |
| 4 | 16–20 | बिना चढ़ाव दो चौथाई मिलाएँ। | पूरा समान रहता है। |
| 5 | 1–20 | कहानी का एक सुधार बताएँ। | सही अवलोकन रखें। |
| 6 | 5 चुनें | दूसरी भाषा में वही पाँच क्रमांक खोलें। | ध्वनि से पहले अर्थ जोड़ें। |
| 7 | दोहराएँ | C का आधा, D का चौथाई तुलना करें। | क्षेत्रफल से पहले हर पूरा बताएँ। |
4 बड़ा होने से 1/4 बड़ा कहे तो पूर्णांक की सही तुलना रखें। समान पूरे दिखाकर हर हिस्से का क्षेत्रफल 6 और 3 गिनें। पूरा कराएँ: ‘हर बताता है पूरा कितने बराबर हिस्सों में है, इसलिए उसी पूरे में अधिक हिस्से होने पर हर हिस्सा…’ पहला उत्तर और सुधरा कारण साथ रखें।
चार असमान टुकड़ों को चौथाई कहे तो क्षेत्रफल मिलाएँ; 2, 3, 3, 4 उदाहरण लें। हर को बचे हिस्से समझे तो 3/4 पर लौटें: तीन चुने और एक बचा मिलकर चार बराबर हिस्से। बराबर को एक-जैसी रूपरेखा माने तो बताएँ समान इकाई वर्ग घुमाने या सजाने से आकृति बदलती है, क्षेत्रफल नहीं।
चित्र या कल्पित क्षेत्र पर्याप्त हैं। वैकल्पिक कागज़ मॉडल वयस्क की मदद से चिह्नित या मोड़े जा सकते हैं; काटना आवश्यक नहीं। इकाई वर्ग से जाँच में बिना खाली जगह या चढ़ाव एक बार ढकें। गणित में बराबर हिस्सा इस काम का मात्रा-नियम है; हर वास्तविक निर्णय में सबको एक-जैसी चीज़ देना आवश्यक नहीं।
प्रगति में पूर्ण इकाई बताना, बराबरी जाँचना और हर अंक क्या गिनता है समझाना आता है। ‘उसी पूरे के दो चौथाई आधा बनाते हैं’ शब्दों को स्थिर संबंध से जोड़ता है। संकेत सामान्य मदद हैं। पहले हर का काम समझना, फिर उसका नाम याद करना ठीक है।
नई तुलना: C का क्षेत्रफल 8 वर्ग इकाई, आधा 4; D का 20, चौथाई 5। सभी वर्ग इकाइयाँ समान आकार की हैं। इसलिए D का चौथाई C के आधे से अधिक क्षेत्रफल है। संख्या-तुलना 1/2 > 1/4 नहीं बदलती; क्षेत्रफल अलग आकार की पूर्ण इकाइयों से हैं। हर भिन्न का पूरा बताएँ।
| क्षेत्र | पूरा क्षेत्रफल (वर्ग इकाई) | पूरे के बराबर हिस्से | हर हिस्से का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई) | एक हिस्से का भिन्न |
|---|---|---|---|---|
| C | 8 | 2 | 4 | 1/2 |
| D | 20 | 4 | 5 | 1/4 |
क्या चारों भाषाएँ साथ सीखनी हैं?
नहीं। एक भाषा में समझकर तैयार होने पर वही क्रमांक दूसरी में लें।
क्या सभी भिन्न एक से छोटे हैं?
नहीं। 4/4 एक और 5/4 एक से बड़ा है। पाठ पहले एक पूरे के भीतर बराबर हिस्से और रूप समझाता है।
क्या हर केवल बचे हिस्से गिनता है?
नहीं। यहाँ पूरे के सभी बराबर हिस्से, चुने और बचे दोनों गिनता है।
अलग आकृति के हिस्से बराबर हो सकते हैं?
हाँ, क्षेत्रफल में। तुलना की मात्रा बताएँ; समान क्षेत्रफल को समान रूपरेखा आवश्यक नहीं।
क्या बड़ा हर हमेशा छोटा भिन्न देता है?
शर्त चाहिए। धनात्मक इकाई भिन्न 1/n में बड़ा धनात्मक हर छोटा मान देता है। अलग अंश में ऐसा नियम नहीं: 3/4 > 1/2।
बड़े क्षेत्र का चौथाई छोटे के आधे से अधिक हो सकता है?
हाँ, वास्तविक क्षेत्रफल में। उदाहरण 5 और 4 वर्ग इकाई हैं। दोनों पूरे बताएँ, संख्या-तुलना 1/2 > 1/4 अलग रखें।
अभ्यास में कैंची या खाना चाहिए?
नहीं। तालिकाएँ, कल्पित क्षेत्र और चित्र पर्याप्त हैं। उपयोगी हो तो मदद से कागज़ चिह्नित या मोड़ें।
गलत तुलना के बाद क्या करें?
सही अवलोकन रखें, पूरा और बराबर-हिस्सा नियम पहचानें, सुधार दिखाकर नया उदाहरण लें। एक उत्तर बच्चे का निदान नहीं।
वयस्कों के लिए पृष्ठभूमि-पठन
वयस्कों के स्रोत बराबर हिस्से, इकाई भिन्न और हिस्सा-पूर्ण मॉडल बताते हैं। शब्द-कार्ड, संख्याएँ, कहानी और अभ्यास मौलिक हैं। क्षेत्रफल उदाहरण काल्पनिक मॉडल हैं, राष्ट्रीय पाठ्यक्रम का दावा नहीं।
- NCETM · Unit fractions: identifying, representing and comparing
- Australian Association of Mathematics Teachers · Part-whole fractions
- NRICH · Fair Feast