eduKate · 8–10 лет · Дроби и равные части
Выберите следующий шаг
Назовите целое, проверьте равные части и объясните дробь.
Содержание · Разбор ошибки · Обсуждение и проверка · Статьи о словах
Эти 20 слов связывают названное целое, равные части и запись дроби. Возраст 8–10 лет — гибкий ориентир. Начните с целого, части, равенства, половины и четверти. Числитель и знаменатель добавляйте, когда ребёнок объясняет идею своими словами. Достаточно коротких подходов.
На каждой карточке есть английский, китайский, хинди и русский. Поймите смысл на знакомом языке, затем перейдите к тому же номеру другой версии. Учить все четыре одновременно необязательно. Верное объяснение на знакомом языке помогает освоить предложение на новом.
В китайской версии — упрощённые иероглифы и пиньинь с тонами. Латинские формы хинди и русского приблизительные, русские ударения учебные и обычно опускаются в обычном письме. По-китайски 3/4 читается 四分之三: сначала знаменатель, затем числитель; запись всё равно означает три четверти. Хинди अंश и हर здесь обозначают числитель и знаменатель. आकार и आकृति в этом уроке означают размер и форму соответственно; бытовые значения могут пересекаться.
Содержание
Главы 1–4
Главы 5–8
Главы 9–12
Дробь — число относительно единицы. В нашей модели площади единица — вся область, выбранная за целое. Сначала определите её, затем проверьте деление. Равные части здесь имеют равную площадь, хотя очертания могут различаться. Используются заданные количества равных единичных квадратов, не измерения экрана.
Разбор ошибки
Разбор ошибки: «Четыре больше двух, значит, четверть больше половины». Сохраните верное сравнение целых чисел: 4 больше 2. Спросите, что они считают. Это число равных частей одного целого. Площадь целого 12 квадратных единиц: при делении на две части каждая по 6, на четыре — по 3. Значит, четверть меньше половины. Больше частей не означает большую площадь каждой.
Равенство частей — условие. Части площадью 2, 3, 3 и 4 дают 12, но не каждая из четырёх — четверть. Часть площадью 3 действительно составляет четверть общей площади; неравное деление на четыре куска не позволяет так назвать каждый. Учитывайте величину, не только число кусков.
Связывайте языки по строке, затем читайте предложение. Здесь числитель считает выбранные равные части, знаменатель — все части целого, включая выбранные. В 3/4 выбраны три из четырёх, одна не выбрана, но знаменатель остаётся 4, не 1.
Различайте дробные числа и реальные величины. Как числа 1/2 больше 1/4. Сравнивая площади частей настоящих областей, назовите целые: половина маленькой области может быть меньше четверти большой. Сначала целые равны по площади; позже мы специально меняем их для проверки этого различия.
1. це́лое · whole
Русский: це́лое (tseloye)
Полное количество, выбранное за одну единицу для дроби.
Прежде чем назвать дробь, мы определяем целое.
English: whole
The complete amount chosen as one unit for the fraction.
We name the whole before naming its fraction.
中文（普通话）: 整体 (zhěngtǐ)
在分数中选作一个单位的完整数量。
说分数前，我们先说清整体。
हिन्दी: पूर्ण इकाई (pūrṇa ikāī)
भिन्न के लिए एक इकाई मानी गई पूरी मात्रा।
भिन्न बताने से पहले पूर्ण इकाई बताते हैं।
Попробуйте: Назовите полную область, выбранную за целое.
2. часть · part
Русский: часть (chast)
Количество, входящее в целое; части не обязательно равны.
Эта часть содержит три равных единичных квадрата.
English: part
An amount belonging to a whole; parts are not automatically equal.
This part contains three equal unit squares.
中文（普通话）: 部分 (bùfen)
属于整体的一部分数量；各部分不自动相等。
这部分包含三个相同单位方格。
हिन्दी: हिस्सा (hissā)
पूर्ण इकाई की मात्रा का हिस्सा; हिस्से अपने आप बराबर नहीं होते।
इस हिस्से में तीन बराबर इकाई वर्ग हैं।
Попробуйте: Может ли часть существовать до её названия дробью? Объясните.
3. ра́вный · equal
Русский: ра́вный (ravnyy)
Одинаковый по сравниваемой величине.
У четырёх частей равная площадь.
English: equal
The same in the quantity being compared.
The four parts have equal area.
中文（普通话）: 相等的 (xiāngděng de)
所比较的数量相同。
四部分面积相等。
हिन्दी: बराबर (barābar)
तुलना की मात्रा में समान।
चारों हिस्सों का क्षेत्रफल बराबर है।
Попробуйте: Какая величина равна в нашей модели?
4. нера́вный · unequal
Русский: нера́вный (neravnyy)
Различающийся по сравниваемой величине.
Части площадью 2, 3, 3 и 4 квадратные единицы неравны.
English: unequal
Different in the quantity being compared.
Parts of 2, 3, 3 and 4 square units are unequal.
中文（普通话）: 不相等的 (bù xiāngděng de)
所比较数量不同。
面积为2、3、3、4平方单位的部分不相等。
हिन्दी: असमान (asamān)
तुलना की मात्रा में अलग।
2, 3, 3 और 4 वर्ग इकाई वाले हिस्से असमान हैं।
Попробуйте: Сравните площади 2, 3, 3, 4 до названия четвертями.
5. распределя́ть · share
Русский: распределя́ть (raspredelyat)
Выделять доли; распределение поровну — одно из возможных правил.
В этом задании мы распределяем площадь поровну.
English: share
To allocate portions; equal sharing is one particular rule.
In this task we share the area equally.
中文（普通话）: 分配 (fēnpèi)
分给各份；平均分配是其中一种规则。
本题按面积平均分配。
हिन्दी: बाँटना (bā̃ṭnā)
हिस्से देना; बराबर बाँटना एक खास नियम है।
इस काम में क्षेत्रफल बराबर बाँटते हैं।
Попробуйте: Объясните правило распределения поровну в этом задании.
6. дели́ть · divide
Русский: дели́ть (delit)
Разделять целое на части; в нашей модели нужны равные площади.
Мы делим двенадцать квадратных единиц на четыре равные по площади части.
English: divide
To separate a whole into parts; our fraction model requires equal areas.
We divide twelve square units into four equal-area parts.
中文（普通话）: 划分 (huàfēn)
把整体划成部分；本分数模型要求各份面积相等。
我们把十二平方单位划分成四个等面积部分。
हिन्दी: विभाजित करना (vibhājit karnā)
पूर्ण इकाई को हिस्सों में करना; हमारे मॉडल में बराबर क्षेत्रफल चाहिए।
बारह वर्ग इकाई चार बराबर क्षेत्रफल वाले हिस्सों में विभाजित करते हैं।
Попробуйте: Опишите деление двенадцати квадратных единиц на четыре равные части.
7. полови́на · half
Русский: полови́на (polovina)
Одна из двух равных частей названного целого.
Половина нашего целого из двенадцати квадратов — шесть квадратных единиц.
English: half
One of two equal parts of a named whole.
Half of our twelve-square whole is six square units.
中文（普通话）: 二分之一 (èr fēn zhī yī)
指定整体的两个相等部分之一。
十二方格整体的二分之一是六平方单位。
हिन्दी: आधा (ādhā)
बताई पूर्ण इकाई के दो बराबर हिस्सों में एक।
हमारी बारह-वर्ग पूर्ण इकाई का आधा छह वर्ग इकाई है।
Попробуйте: Найдите половину целого площадью двенадцать.
8. че́тверть · quarter
Русский: че́тверть (chetvert)
Одна из четырёх равных частей названного целого.
Четверть двенадцати квадратных единиц — три квадратные единицы.
English: quarter
One of four equal parts of a named whole.
A quarter of twelve square units is three square units.
中文（普通话）: 四分之一 (sì fēn zhī yī)
指定整体的四个相等部分之一。
十二平方单位的四分之一是三平方单位。
हिन्दी: चौथाई (cauthāī)
बताई पूर्ण इकाई के चार बराबर हिस्सों में एक।
बारह वर्ग इकाई का चौथाई तीन वर्ग इकाई है।
Попробуйте: Найдите четверть того же целого и сравните с половиной.
9. треть · third
Русский: треть (tret)
Одна из трёх равных частей названного целого.
Треть двенадцати квадратных единиц — четыре квадратные единицы.
English: third
One of three equal parts of a named whole.
A third of twelve square units is four square units.
中文（普通话）: 三分之一 (sān fēn zhī yī)
指定整体的三个相等部分之一。
十二平方单位的三分之一是四平方单位。
हिन्दी: तिहाई (tihāī)
बताई पूर्ण इकाई के तीन बराबर हिस्सों में एक।
बारह वर्ग इकाई का तिहाई चार वर्ग इकाई है।
Попробуйте: Почему треть в этой модели имеет площадь четыре?
10. дробь · fraction
Русский: дробь (drob)
Число, записанное здесь числителем над ненулевым знаменателем; начинаем с равных частей одного целого.
Дробь 3/4 обозначает три из четырёх равных частей.
English: fraction
A number written here as a numerator over a non-zero denominator; we begin with equal parts within one whole.
The fraction 3/4 represents three of four equal parts.
中文（普通话）: 分数 (fēnshù)
本课写成分子在上、非零分母在下的数；先学习一个整体内的相等部分。
分数3/4表示四个相等部分中的三个。
हिन्दी: भिन्न (bhinn)
अंश को गैर-शून्य हर के ऊपर लिखकर दर्शाई गई संख्या; शुरुआत एक पूर्ण इकाई के बराबर हिस्सों से है।
भिन्न 3/4 चार बराबर हिस्सों में तीन बताता है।
Попробуйте: Прочитайте 3/4 как три выбранные части из четырёх равных.
11. числи́тель · numerator
Русский: числи́тель (chislitel)
В этой модели — число выбранных равных частей.
В 3/4 числитель 3 считает выбранные четверти.
English: numerator
In this part-whole model, the number of equal parts selected.
In 3/4, the numerator 3 counts the selected quarters.
中文（普通话）: 分子 (fēnzǐ)
在本部分与整体模型中，表示选取几份的数。
3/4中，分子3数选出的三份四分之一。
हिन्दी: अंश (aṃś)
इस हिस्से-पूर्ण मॉडल में चुने बराबर हिस्सों की संख्या।
3/4 में अंश 3 चुने चौथाई हिस्से गिनता है।
Попробуйте: Какое число в 3/4 считает выбранные четверти?
12. знамена́тель · denominator
Русский: знамена́тель (znamenatel)
В этой модели — общее число равных частей, составляющих целое.
В 3/4 знаменатель 4 считает все четыре части, включая выбранные.
English: denominator
In this model, the total number of equal parts making one whole.
In 3/4, denominator 4 counts all four parts, including the selected ones.
中文（普通话）: 分母 (fēnmǔ)
本模型中，组成一个整体的相等部分总份数。
3/4中，分母4数全部四份，包括已选的部分。
हिन्दी: हर (har)
इस मॉडल में पूर्ण इकाई बनाने वाले बराबर हिस्सों की कुल संख्या।
3/4 में हर 4 सभी चार हिस्से गिनता है, चुने हुए भी।
Попробуйте: Посчитайте все четыре части, включая выбранные.
13. едини́чная дробь · unit fraction
Русский: едини́чная дробь (yedinichnaya drob)
Дробь с числителем 1 и положительным целым знаменателем.
Одна четверть, 1/4, — единичная дробь.
English: unit fraction
A fraction with numerator 1 and a positive whole-number denominator.
One quarter, 1/4, is a unit fraction.
中文（普通话）: 单位分数 (dānwèi fēnshù)
分子为1、分母为正整数的分数。
四分之一1/4是单位分数。
हिन्दी: इकाई भिन्न (ikāī bhinn)
अंश 1 और धनात्मक पूर्णांक हर वाला भिन्न।
1/4 एक इकाई भिन्न है।
Попробуйте: Почему 1/4 — единичная дробь, а 3/4 — нет?
14. разме́р · size
Русский: разме́р (razmer)
Величина предмета или количества по названной мере.
Мы сравниваем размер частей по площади, не по числу углов.
English: size
How much space or quantity something has, using a stated measure.
We compare the parts’ size by area, not by the number of corners.
中文（普通话）: 大小 (dàxiǎo)
按说清楚的测量方式，物体有多大或有多少。
我们按面积比较部分大小，不数角。
हिन्दी: आकार (ākār)
बताए माप से वस्तु का फैलाव या मात्रा।
हिस्सों का आकार क्षेत्रफल से तुलना करते हैं, कोनों से नहीं।
Попробуйте: Какой мерой сравниваются размеры частей?
15. фо́рма · shape
Русский: фо́рма (forma)
Очертание или устройство фигуры.
Разные формы могут иметь равную площадь.
English: shape
The outline or arrangement of a figure.
Different shapes can have equal area.
中文（普通话）: 形状 (xíngzhuàng)
图形的轮廓或排列方式。
不同形状可以有相等面积。
हिन्दी: आकृति (ākṛti)
आकृति की रूपरेखा या व्यवस्था।
अलग आकृतियों का क्षेत्रफल बराबर हो सकता है।
Попробуйте: Представьте перестановку трёх равных квадратов без наложения.
16. пло́щадь · area
Русский: пло́щадь (ploshchad)
Величина плоской области, измеряемая в квадратных единицах.
Двенадцать равных единичных квадратов покрывают двенадцать квадратных единиц.
English: area
The amount of surface a flat region covers, measured in square units.
Twelve equal unit squares cover an area of twelve square units.
中文（普通话）: 面积 (miànjī)
平面区域覆盖的大小，以平方单位测量。
十二个相同单位方格覆盖十二平方单位面积。
हिन्दी: क्षेत्रफल (kṣetraphal)
समतल क्षेत्र का फैलाव, वर्ग इकाई में मापा गया।
बारह बराबर इकाई वर्ग बारह वर्ग इकाई क्षेत्रफल ढकते हैं।
Попробуйте: Почему промежутки и наложения мешают подсчёту площади?
17. сра́внивать · compare
Русский: сра́внивать (sravnivat)
Рассматривать величины по ясному основанию.
Мы сравниваем половину и четверть одного целого.
English: compare
To examine quantities using a clear basis.
We compare a half and a quarter of the same whole.
中文（普通话）: 比较 (bǐjiào)
按清楚依据考察数量关系。
我们比较同一整体的二分之一与四分之一。
हिन्दी: तुलना करना (tulnā karnā)
स्पष्ट आधार से मात्राएँ देखना।
हम उसी पूर्ण इकाई के आधे और चौथाई की तुलना करते हैं।
Попробуйте: Назовите целые до сравнения частей.
18. объединя́ть · combine
Русский: объединя́ть (obyedinyat)
Соединять части; в нашей модели площади без наложения и повторного счёта.
Мы объединяем две четверти в половину того же целого.
English: combine
To put parts together; count each part once, with no overlap in our area model.
We combine two quarters to make one half of the same whole.
中文（普通话）: 合并 (hébìng)
把部分放在一起；本面积模型中不重叠，每份数一次。
我们合并两个四分之一，得到同一整体的二分之一。
हिन्दी: मिलाना (milānā)
हिस्से साथ रखना; हमारे क्षेत्रफल मॉडल में बिना चढ़ाए हर हिस्सा एक बार गिनें।
दो चौथाई मिलाकर उसी पूर्ण इकाई का आधा बनाते हैं।
Попробуйте: Объедините две неперекрывающиеся четверти одного целого.
19. объясня́ть · explain
Русский: объясня́ть (obyasnyat)
Указывать причину, связывающую модель и ответ.
Я объясняю, почему каждая из четырёх равных частей целого меньше каждой из двух равных частей того же целого.
English: explain
To give a reason connecting the model and the answer.
I explain why four equal parts are smaller than two equal parts of the same whole.
中文（普通话）: 解释 (jiěshì)
说明模型与答案之间的理由。
我解释同一整体分四等份时，每份为何小于分两等份时的每份。
हिन्दी: समझाना (samjhānā)
मॉडल और उत्तर का संबंध कारण सहित बताना।
समझाता हूँ कि उसी पूर्ण इकाई के चार बराबर हिस्सों में हर हिस्सा दो बराबर हिस्सों के हर हिस्से से छोटा क्यों है।
Попробуйте: Объясните одно исправление с полной причиной.
20. проверя́ть · check
Русский: проверя́ть (proveryat)
Убеждаться, что части, дробь и названное целое согласуются.
Мы проверяем равенство частей до их подсчёта для дроби.
English: check
To test whether the parts, fraction and named whole agree.
We check equality before counting fraction parts.
中文（普通话）: 检查 (jiǎnchá)
核对部分、分数与指定整体是否一致。
我们先检查各份相等，再数分数份数。
हिन्दी: जाँचना (jā̃cnā)
हिस्से, भिन्न और बताई पूर्ण इकाई का मेल जाँचना।
भिन्न के हिस्से गिनने से पहले बराबरी जाँचते हैं।
Попробуйте: Проверьте целое, равные площади и число выбранных частей по порядку.
Оригинальная вымышленная история использует целые области A и B площадью по 12 квадратных единиц. Все единичные квадраты одного размера. Области полностью покрыты без промежутков и наложения. A разделена на две равные части по 6, B — на четыре по 3. Таблица описывает площади, не масштабный рисунок.
В третьей модели того же целого три равные части имели бы площадь по 4 — трети. Две неперекрывающиеся четверти B дают 3 + 3 = 6 квадратных единиц, как половина целого площадью 12. Поэтому одна площадь обозначается 2/4 и 1/2. Добавление выбранных четвертей меняет число выбранных, а не число четвертей в целом.
| Область | Площадь целого (кв. ед.) | Равных частей в целом | Площадь части (кв. ед.) | Дробь одной части |
|---|---|---|---|---|
| A | 12 | 2 | 6 | 1/2 |
| B | 12 | 4 | 3 | 1/4 |
Русский · Больше частей, меньше каждая
Мира и Иво читают вымышленную запись о двух целых областях. A и B имеют площадь по двенадцать квадратных единиц. Все единичные квадраты одинаковы, промежутков и наложений нет. A разделена на две равные по площади части, B — на четыре. Иво предсказывает: «Четыре больше двух, значит, четверть B должна быть больше половины A». Мира записывает предсказание.
Они проверяют A: двенадцать квадратных единиц делятся поровну между двумя частями, каждая по шесть. В B та же площадь делится на четыре, каждая по три. «Сравнение четырёх и двух верное, но я применил его не к тому, — говорит Иво. — Эти числа считают части, а не площадь одной части».
Мира выбирает одну из четырёх равных частей B: 1/4, одну четверть. Затем выбирает вторую без повторного счёта площади. Вместе это шесть квадратных единиц, как половина A. Для этих равных по размеру целых они пишут 2/4 = 1/2.
Иво выбирает третью четверть B и пишет 3/1, потому что одна часть не выбрана. Мира спрашивает, что считает знаменатель. Три выбранные и одна невыбранная составляют четыре части целого. Верная дробь — 3/4. Числитель считает три выбранные части, знаменатель — все четыре равные части целого.
Новая запись показывает четыре неравных куска площадью два, три, три и четыре. Вместе двенадцать, но Иво сначала проверяет: «Четырёх кусков недостаточно, чтобы каждый был четвертью. Для этой модели нужны равные площади».
Наконец они сравнивают разные целые: половина области площадью восемь равна четырём, четверть области площадью двадцать — пяти. Мира добавляет: «Каждый раз называйте целое». Они сохраняют исправления рядом с первыми ответами, чтобы объяснить изменившийся шаг.
English · More Parts, Smaller Pieces
Mira and Ivo read an invented record about two complete regions. Both A and B have area twelve square units. All the unit squares are the same size, and there are no gaps or overlaps. A has two equal-area parts. B has four. Before reading the part areas, Ivo predicts, “Four is bigger than two, so B’s quarter must be bigger than A’s half.” Mira writes his prediction down.
They check A. Its twelve square units are divided equally between two parts, so each has area six. In B the same total area is divided equally among four parts, each with area three. “My comparison of four and two was right,” Ivo says, “but I used it for the wrong thing. Those numbers count parts, not the area in one part.”
Mira selects one of B’s four equal parts. They call it 1/4, one quarter. Then she selects a second quarter without counting any area twice. Together the two parts cover six square units, just like a half of A. They write 2/4 = 1/2 for these equal-sized wholes.
Ivo selects a third quarter of B and writes 3/1 because one part remains unselected. Mira asks what the denominator counts. They count every part in B: three selected and one unselected make four. The correct fraction is 3/4. The numerator counts three selected parts; the denominator counts all four equal parts in the whole.
A new record shows four unequal pieces with areas two, three, three and four. They total twelve, but Ivo checks before naming them. “Four pieces alone do not make every piece a quarter,” he explains. “We need equal areas for that model.”
Finally they compare different wholes: half of an eight-square-unit region has area four; a quarter of a twenty-square-unit region has area five. Mira adds a note: “Name the whole each time.” They keep both corrections beside their first attempts so they can explain which step changed.
中文（普通话） · 份数更多，每份更小
米拉和伊沃读一份关于两个完整区域的虚构记录。A、B面积都为十二平方单位，所有单位方格大小相同，没有空隙与重叠。A分两等份，B分四等份。还没读每份面积，伊沃就预测：“4比2大，所以B的四分之一一定比A的一半大。”米拉写下预测。
他们先检查A：十二平方单位平均分两份，每份六。B把同样总面积平均分四份，每份三。伊沃说：“4和2的比较是对的，但我用错了对象。它们数份数，不数每份面积。”
米拉选B四等份中的一份，叫1/4。再选第二份，没有重复计算任何面积。两份合计六平方单位，和A的一半一样。他们针对这些等大整体写下2/4＝1/2。
伊沃再选B第三份，因为剩一份未选，写成3/1。米拉问分母数什么。他们把B所有部分都数上：三份已选加一份未选，共四份。正确分数是3/4，分子数选出的三份，分母数整体全部四等份。
新记录给出面积二、三、三、四的四块，总数仍十二。伊沃先检查再命名：“只有四块，不代表每块都是四分之一；这种模型还要面积相等。”
最后比较不同整体：八平方单位的一半是四，二十平方单位的四分之一是五。米拉补充：“每次都要说清整体。”他们把两次修正留在初答旁，方便解释改变了哪一步。
हिन्दी · अधिक हिस्से, छोटा हर हिस्सा
मीरा और इवो दो पूरे क्षेत्रों का काल्पनिक अभिलेख पढ़ते हैं। A और B दोनों का क्षेत्रफल बारह वर्ग इकाई है। इकाई वर्ग समान हैं, न खाली जगह है न चढ़ाव। A में दो बराबर-क्षेत्रफल हिस्से, B में चार हैं। हिस्सों का क्षेत्रफल पढ़ने से पहले इवो कहता है, ‘चार दो से बड़ा है, इसलिए B का चौथाई A के आधे से बड़ा होगा।’ मीरा पूर्वानुमान लिखती है।
वे A जाँचते हैं। बारह वर्ग इकाई दो में बराबर बँटी हैं, हर हिस्सा छह है। B में वही कुल चार में बराबर बँटा है, हर एक तीन। इवो कहता है, ‘चार और दो की तुलना सही थी, पर मैंने गलत चीज़ के लिए लगाई। वे हिस्से गिनते हैं, एक हिस्से का क्षेत्रफल नहीं।’
मीरा B के चार बराबर हिस्सों में एक चुनती है: 1/4, एक चौथाई। फिर दूसरा चुनती है, कोई क्षेत्र दो बार नहीं गिनती। दोनों मिलकर छह वर्ग इकाई, A के आधे के बराबर हैं। इन समान पूरे के लिए वे 2/4 = 1/2 लिखते हैं।
इवो B का तीसरा चौथाई चुनकर 3/1 लिखता है, क्योंकि एक हिस्सा बचा। मीरा पूछती है हर क्या गिनता है। तीन चुने और एक बचा मिलकर पूरे के चार हिस्से हैं। सही भिन्न 3/4 है। अंश तीन चुने हिस्से, हर सभी चार बराबर हिस्से गिनता है।
नई प्रविष्टि में दो, तीन, तीन और चार क्षेत्रफल वाले असमान टुकड़े हैं। कुल बारह है, पर इवो पहले जाँचता है। ‘केवल चार टुकड़े हर एक को चौथाई नहीं बनाते,’ वह कहता है। ‘इस मॉडल में बराबर क्षेत्रफल चाहिए।’
अंत में अलग पूरे तुलना करते हैं: आठ वर्ग इकाई का आधा चार; बीस का चौथाई पाँच। मीरा नोट जोड़ती है: ‘हर बार पूर्ण इकाई बताएँ।’ दोनों पहले प्रयासों के पास सुधार रखते हैं, ताकि बदला चरण समझा सकें।
Обсуждайте по одному вопросу: какое целое, какая величина и почему. Можно говорить, рисовать или сначала использовать знакомый язык. Подсказки помогают проверять; спешить с термином раньше понимания не нужно.
1. Какова площадь каждого целого A и B?
2. Чему равна половина A?
3. Чему равна четверть B?
4. Почему большему знаменателю здесь соответствует меньшая единичная дробь?
5. Что получается из двух четвертей B?
6. Что считает знаменатель 4 в 3/4?
7. Все ли куски площадью 2, 3, 3, 4 являются четвертями?
8. Должны ли равные по площади части иметь одинаковую форму?
9. Где площадь больше: у половины C площадью 8 или четверти D площадью 20?
10. Меняет ли это сравнение чисел 1/2 > 1/4?
Подсказки для обсуждения
- По двенадцать квадратных единиц при одинаковых единичных квадратах.
- Шесть квадратных единиц: 12 делится на две равные по площади части.
- Три квадратные единицы: 12 делится на четыре равные по площади части.
- То же целое делится на больше равных частей, поэтому площадь каждой меньше.
- Шесть квадратных единиц, половина того же целого площадью 12; 2/4 = 1/2.
- Все четыре равные части целого, включая три выбранные.
- Нет. Они неравны. Каждый кусок площадью 3 — четверть 12, куски площадью 2 и 4 — нет.
- Нет. Равная площадь может иметь разную форму; считайте одинаковые квадраты без промежутков и наложения.
- У четверти D: 5 квадратных единиц против 4 у половины C. Целые разные.
- Нет. Значения дробных чисел сохраняются; реальные площади взяты от разных целых.
На подход может хватить пяти–десяти спокойных минут. Повторяйте дни по необходимости. Понимание половин на знакомом языке может опережать свободное объяснение знаменателей на другом. Используйте небольшую группу слов и добавляйте следующую по готовности.
| День | Слова | Небольшое задание | Что заметить |
|---|---|---|---|
| 1 | 1–5 | Назовите целое и делимую величину. | Равенство здесь по площади. |
| 2 | 6–10 | Объясните половину, треть и четверть площади 12. | Посчитана площадь части. |
| 3 | 11–15 | Прочитайте 3/4 и смысл обоих чисел. | Знаменатель включает все части. |
| 4 | 16–20 | Объедините две четверти без наложения. | Целое остаётся тем же. |
| 5 | 1–20 | Перескажите одно исправление. | Верное наблюдение сохранено. |
| 6 | Выберите 5 | Откройте те же номера на другом языке. | Сначала смысл, затем звучание. |
| 7 | Повторение | Сравните половину C и четверть D. | До площади названы целые. |
Если 1/4 называют большей из-за числа 4, сохраните верное сравнение целых. Покажите равные целые и площади частей 6 и 3. Предложите закончить: «Знаменатель считает равные части целого, поэтому при том же целом больше частей означает…» Сохраните первый ответ рядом с исправленной причиной.
Если каждый из четырёх неравных кусков называют четвертью, сравните площади 2, 3, 3, 4. Если знаменатель считают числом невыбранных, вернитесь к 3/4: три выбранные и одна невыбранная дают четыре равные части. Если равенство путают с одинаковым контуром, объясните: поворот или перестановка равных квадратов меняет форму, но не площадь.
Достаточно рисунков или воображаемых областей. Необязательные бумажные модели можно разметить или сложить с помощью взрослого; разрезать не требуется. При проверке квадратами покрывайте область один раз без промежутков и наложения. Равные математические доли здесь — правило количества, не требование выдавать всем одинаковые вещи в жизни.
Прогресс — назвать целое, проверить равенство и объяснить, что считает каждое число. «Две четверти того же целого составляют половину» связывает слова с устойчивым отношением. Подсказка — обычная помощь. Сначала можно понять роль знаменателя, а потом запомнить название.
Новая проверка: площадь C — 8 квадратных единиц, половина — 4; площадь D — 20, четверть — 5. Все квадратные единицы одинаковы. Поэтому четверть D больше по площади, чем половина C. Сравнение чисел 1/2 > 1/4 не меняется: площади взяты от разных целых. Назовите целое для каждой дроби.
| Область | Площадь целого (кв. ед.) | Равных частей в целом | Площадь части (кв. ед.) | Дробь одной части |
|---|---|---|---|---|
| C | 8 | 2 | 4 | 1/2 |
| D | 20 | 4 | 5 | 1/4 |
Нужно учить все четыре языка одновременно?
Нет. Сначала поймите на одном языке, затем добавляйте слова с теми же номерами.
Все ли дроби меньше единицы?
Нет. 4/4 равно единице, 5/4 больше неё. Урок начинается внутри одного целого, чтобы прояснить части и запись.
Знаменатель считает только невыбранные части?
Нет. В этой модели он считает все равные части целого — выбранные и невыбранные.
Могут ли части разной формы быть равными?
Да, по площади. Назовите величину: равенство площадей не требует одинаковых очертаний.
Больший знаменатель всегда означает меньшую дробь?
Нужны условия. У положительных единичных дробей 1/n больший знаменатель даёт меньшее число. Для произвольных числителей правило неверно: 3/4 больше 1/2.
Может ли четверть большой области быть больше половины маленькой?
Да, по реальной площади: в примере 5 и 4 квадратные единицы. Назовите оба целых и сохраните различие со сравнением чисел 1/2 > 1/4.
Нужны ножницы или еда?
Нет. Достаточно таблиц, воображаемых областей и рисунков. При желании бумагу можно разметить или сложить с помощью.
Что делать после неверного сравнения?
Сохраните верное наблюдение, уточните целое и равенство частей, покажите исправление и новый пример. Один ответ не является диагнозом ребёнка.
Материалы для взрослых
Материалы для взрослых о равных частях, единичных дробях и модели части и целого. Карточки, числовые записи, история и задания оригинальные. Площади вымышлены для обучения, не являются заявлением о национальной программе.
- NCETM · Unit fractions: identifying, representing and comparing
- Australian Association of Mathematics Teachers · Part-whole fractions
- NRICH · Fair Feast