8–10 лет · Случайность и возможные исходы
Выберите следующий шаг
Различайте возможное и случившееся; объясняйте, какие именно шансы равны.
Содержание · Разбор ошибки · Обсуждение и проверка · Статьи о словах
Неожиданный результат помогает выучить точное слово. Если в мешке три красных жетона и один синий, синий может удивить, но это не ошибка. Дети примерно 8–10 лет учатся различать возможное, случившееся и обоснованное данными. Возраст — ориентир, не проверка готовности: взрослый может прочитать историю и начать с пяти слов.
Нумерация, значения, примеры и оригинальная история общие для четырёх версий. Ссылки под словом ведут к той же карточке на другом языке. Сначала поймите смысл, затем учите четыре обозначения. Переводы подобраны к контексту, а не объявлены единственными для любого предложения.
Китайский дан упрощёнными иероглифами и пиньинем с тонами. Для хинди и русского есть приблизительные подсказки латиницей; русские ударения учебные и обычно не пишутся в обычном тексте. По возможности слушайте уверенного носителя. Здесь вымышленные опыты, не ставки, призы, личные предсказания или национальная программа.
Содержание
1–4 · Считайте равные шансы, не только названия
5–8 · Процедуры и прогнозы: слова 11–15
9–12 · Спокойный план на семь дней
Начните с устройства опыта. Четыре жетона одинаковы по размеру, форме, массе и на ощупь, различаются лишь цветом. В A три красных и один синий. При идеальном выборе каждый жетон равновероятен. Цвет объединяет исходы: красный получается тремя способами, синий одним. Два названия цветов не означают два равных шанса.
Разбор ошибки
Разбор ошибки: «Цветов два, значит, каждому по половине». Сохраните верное наблюдение: цветовых обозначений два. Исправьте рассуждение: считайте четыре равновероятных жетона. У красного 3 шанса из 4, у синего 1 из 4. Это модель вероятности, не обещание ровно трёх красных и одного синего за четыре попытки.
Каждый раз вытяните без выбора цвета, запишите, верните жетон и перемешайте. Мы предполагаем независимые идеальные выборы: предыдущий результат не меняет следующего шанса. Без возвращения состав меняется, а с ним может измениться вероятность. Не смешивайте процедуры. Для опыта берите крупные безопасные жетоны; малышам мелкие детали не дают.
Читайте таблицу по смыслу, не только по звучанию. Достоверное сильнее вероятного; маловероятное всё ещё возможно. Указывайте границы: синий возможен, потому что он есть; зелёный невозможен в заданном составе. При изменении содержимого пересмотрите утверждение, не считайте его вечной истиной.
Некоторые единицы — словосочетания, потому что так естественнее. Английское chance бывает «возможностью что-то сделать», здесь это вероятность. Достоверный здесь относится к событию, не к человеку. Барंबारता и частота обозначают абсолютное число появлений в указанной серии; называйте также длину серии.
1. вероя́тность · chance
Русский: вероя́тность (veroyatnost)
Насколько вероятно событие; не обещание результата следующей попытки.
В мешке A красный вероятнее синего.
English: chance
How likely something is to happen; not a promise about the next try.
Red has a greater chance than blue in bag A.
中文（普通话）: 可能性 (kěnéngxìng)
某件事发生的可能程度，不是对下一次的保证。
A袋抽到红色的可能性比蓝色大。
हिन्दी: संभावना (sambhāvnā)
किसी बात के होने की संभावना; अगली बार का वादा नहीं।
थैली A में लाल की संभावना नीले से अधिक है।
Попробуйте: Скажите о вероятности без обещания следующего исхода.
2. исхо́д · outcome
Русский: исхо́д (iskhod)
Один возможный результат попытки на выбранном уровне описания.
Мы записываем цвет, а не номер жетона.
English: outcome
One result that can occur in a trial, described at the level we choose to record.
Our recorded outcome is the colour, not the token’s number.
中文（普通话）: 结果 (jiéguǒ)
一次试验可能出现的一种结果，需说清记录什么。
我们记录的结果是颜色，不是片号。
हिन्दी: परिणाम (pariṇām)
एक परीक्षण में आने वाला परिणाम; बताएँ कि क्या दर्ज कर रहे हैं।
हम रंग दर्ज करते हैं, गोटी की संख्या नहीं।
Попробуйте: Уточните: записывается цвет или отдельный жетон?
3. возмо́жный · possible
Русский: возмо́жный (vozmozhnyy)
Может произойти по заданным правилам, даже если ещё не происходило.
Синий возможен: в A есть один синий жетон.
English: possible
Able to happen under the stated rules, even if it has not happened yet.
Blue is possible because one blue token is in A.
中文（普通话）: 可能的 (kěnéng de)
在给定规则下能发生，即使尚未发生。
A有一枚蓝片，所以蓝色可能出现。
हिन्दी: संभव (sambhav)
तय नियमों में हो सकता है, भले अभी न हुआ हो।
A में एक नीली गोटी है, इसलिए नीला संभव है।
Попробуйте: Почему после трёх красных синий возможен?
4. невозмо́жный · impossible
Русский: невозмо́жный (nevozmozhnyy)
Не может произойти в указанной модели; сначала проверьте условия.
Зелёный невозможен, если в A только красные и синие жетоны.
English: impossible
Unable to happen within the stated setup; check the conditions before using this strong word.
Green is impossible when A contains only red and blue tokens.
中文（普通话）: 不可能的 (bù kěnéng de)
在给定条件下不能发生，使用这个词前先核对条件。
A只有红蓝片时，绿色不可能出现。
हिन्दी: असंभव (asambhav)
तय व्यवस्था में नहीं हो सकता; यह शब्द कहने से पहले शर्तें जाँचें।
A में केवल लाल-नीली गोटियाँ हों तो हरा असंभव है।
Попробуйте: Назовите условие невозможности зелёного.
5. достове́рный · certain
Русский: достове́рный (dostovernyy)
Обязательно в данной модели: утверждение верно при любом допустимом исходе.
Жетон из A достоверно будет красным или синим.
English: certain
Guaranteed within the given model; every allowed outcome makes the statement true.
A draw from A is certain to be red or blue.
中文（普通话）: 必然的 (bìrán de)
在给定模型中一定发生，所有允许结果都符合。
从A抽一片，必然是红或蓝。
हिन्दी: निश्चित (niścit)
दिए मॉडल में पक्का; हर अनुमत परिणाम में बात सही हो।
A से निकली गोटी का लाल या नीला होना निश्चित है।
Попробуйте: Закончите: красный или синий достоверен, потому что ___.
6. неопределённый · uncertain
Русский: неопределённый (neopredelyonnyy)
Заранее не известен точно; это не означает равенства всех шансов.
Следующий цвет неопределён, хотя красный вероятнее.
English: uncertain
Not known for sure; uncertainty does not mean that every possibility has the same chance.
The next colour is uncertain, although red is more likely.
中文（普通话）: 不确定的 (bù quèdìng de)
不能肯定；不确定不代表各种结果机会相等。
下次颜色不确定，虽然红色更可能。
हिन्दी: अनिश्चित (aniścit)
पक्का ज्ञात नहीं; इसका अर्थ सभी संभावनाएँ बराबर होना नहीं।
अगला रंग अनिश्चित है, हालाँकि लाल अधिक संभावित है।
Попробуйте: Различите неизвестный цвет и равные шансы.
7. вероя́тный · likely
Русский: вероя́тный (veroyatnyy)
Ожидаемый с большей вероятностью; здесь для двух цветов — шанс больше половины.
В A красный вероятен, но синий тоже может выпасть.
English: likely
Expected more readily; in this lesson’s two-colour examples it means a chance greater than one half.
Red is likely in A, but blue can still occur.
中文（普通话）: 很可能的 (hěn kěnéng de)
较有可能；本课两色情境指机会超过一半。
A中红色很可能出现，但仍可出现蓝色。
हिन्दी: अधिक संभावित (adhik sambhāvit)
जिसकी उम्मीद अधिक हो; इस दो-रंग पाठ में आधे से अधिक संभावना।
A में लाल अधिक संभावित है, पर नीला आ सकता है।
Попробуйте: Назовите вероятное событие, которое может не случиться.
8. маловероя́тный · unlikely
Русский: маловероя́тный (maloveroyatnyy)
С небольшим, но не нулевым шансом; здесь синий имеет один шанс из четырёх.
Синий в A маловероятен, но не невозможен.
English: unlikely
Having a small chance, not no chance; here blue has one chance out of four.
Blue is unlikely in A, not impossible.
中文（普通话）: 不太可能的 (bù tài kěnéng de)
机会较小，不是没有机会；这里蓝色占四份之一。
A中蓝色不太可能，不是不可能。
हिन्दी: कम संभावित (kam sambhāvit)
कम संभावना, शून्य नहीं; यहाँ नीले का चार में एक मौका है।
A में नीला कम संभावित है, असंभव नहीं।
Попробуйте: Исправьте «синий не может выпасть».
9. равновероя́тный · equally likely
Русский: равновероя́тный (ravnoveroyatnyy)
Имеющий такой же шанс при тех же правилах; числа названий недостаточно.
В B по два жетона каждого цвета, поэтому цвета равновероятны.
English: equally likely
Having the same chance under the same rules; equal numbers of labels alone do not establish this.
Red and blue are equally likely in B with two tokens of each.
中文（普通话）: 可能性相等 (kěnéngxìng xiāngděng)
在相同规则下机会一样；类别名称数量相同并不能证明。
B各有两片红蓝，红蓝可能性相等。
हिन्दी: समान संभावित (samān sambhāvit)
समान नियमों में बराबर संभावना; केवल नाम गिनना पर्याप्त नहीं।
B में दो-दो लाल-नीली गोटियाँ हैं, इसलिए दोनों समान संभावित हैं।
Попробуйте: Сравните шанс отдельного жетона и красной группы.
10. справедли́вый · fair
Русский: справедли́вый (spravedlivyy)
Соответствующий оговорённому правилу: здесь равные шансы игроков на победу.
B справедлив для игры «красный против синего» с одним вытягиванием.
English: fair
Meeting the agreed fairness rule; our colour game calls equal chances of winning fair.
B is fair for a one-draw red-versus-blue game.
中文（普通话）: 公平的 (gōngpíng de)
符合约定的公平规则；本课颜色游戏以双方获胜机会相等为公平。
单次红对蓝的游戏用B公平。
हिन्दी: निष्पक्ष (niṣpakṣ)
तय निष्पक्षता-नियम पूरा करने वाला; इस खेल में जीत के बराबर मौके।
एक बार लाल-बनाम-नीला खेल में B निष्पक्ष है।
Попробуйте: Сначала назовите правило справедливости, потом мешок.
11. несправедли́вый · unfair
Русский: несправедли́вый (nespravedlivyy)
Не соответствующий правилу равных шансов; причина может быть в устройстве, а не в намерении человека.
Для этой игры A несправедлив: три красных жетона и один синий.
English: unfair
Not meeting the agreed fairness rule; unequal chances can come from a setup, not a person’s bad intention.
A is unfair for that game because red has three tokens and blue one.
中文（普通话）: 不公平的 (bù gōngpíng de)
不符合约定公平规则；机会不等可来自设置，不一定是有人故意。
该游戏用A不公平，因为红三片、蓝一片。
हिन्दी: पक्षपाती (pakṣpātī)
तय निष्पक्षता-नियम से हटने वाला; असमान मौके व्यवस्था से भी आ सकते हैं।
उस खेल में A पक्षपाती है: तीन लाल, एक नीली।
Попробуйте: Опишите неравные шансы, не обвиняя игрока.
12. случа́йный · random
Русский: случа́йный (sluchaynyy)
Определяемый случайным процессом, а не выбором нужного результата; шансы групп цветов могут различаться.
При случайном выборе жетона красный цвет может быть вероятнее.
English: random
Determined through a chance process rather than deliberately choosing the result; random need not mean equal chances for colour groups.
A random token draw can favour red as a colour.
中文（普通话）: 随机的 (suíjī de)
由机会过程决定，不是刻意挑结果；随机不等于各颜色组机会相同。
随机抽一片，仍可更容易抽到红色。
हिन्दी: यादृच्छिक (yādṛcchik)
जानबूझकर परिणाम चुनने के बजाय संयोग की प्रक्रिया से तय; रंग-समूह बराबर होना ज़रूरी नहीं।
यादृच्छिक गोटी निकालने पर भी लाल रंग अधिक संभावित हो सकता है।
Попробуйте: Как случайный выбор может благоприятствовать цвету?
13. предска́зывать · predict
Русский: предска́зывать (predskazyvat)
До наблюдения сказать, чего ожидаете, и назвать проверяемую причину.
Я предсказываю больше красных за много попыток, а не красный каждый раз.
English: predict
Say what you expect before observing, using a reason that can later be checked.
I predict red more often over many trials, not red on every trial.
中文（普通话）: 预测 (yùcè)
观察前根据理由说预期，之后可以检查。
我预测很多次中红色较多，不是每次红色。
हिन्दी: पूर्वानुमान लगाना (pūrvānumān lagānā)
देखने से पहले कारण सहित उम्मीद बताना, जिसे बाद में जाँचा जा सके।
कई परीक्षणों में लाल अधिक आने का पूर्वानुमान है, हर बार लाल नहीं।
Попробуйте: Дайте обоснованный прогноз с оговоркой «не гарантировано».
14. испыта́ние · trial
Русский: испыта́ние (ispytaniye)
Одна полная попытка по процедуре: вытянуть, записать, вернуть и перемешать.
Первое испытание дало синий цвет.
English: trial
One complete go using the agreed procedure; here draw one token, record, replace and mix.
Our first trial produced blue.
中文（普通话）: 试验 (shìyàn)
按约定流程完成一次；本课抽一片、记录、放回、混匀。
第一次试验抽到蓝色。
हिन्दी: परीक्षण (parīkṣaṇ)
तय प्रक्रिया का एक पूरा दौर: निकालें, दर्ज करें, लौटाएँ, मिलाएँ।
पहले परीक्षण में नीला आया।
Попробуйте: Назовите четыре шага испытания по порядку.
15. повторя́ть · repeat
Русский: повторя́ть (povtoryat)
Выполнить процедуру снова, указав сохраняемые условия.
Верните жетон, прежде чем повторять испытание.
English: repeat
Carry out the procedure again; state what is kept the same.
Replace the token before you repeat the trial.
中文（普通话）: 重复 (chóngfù)
再次执行流程，并说清哪些条件不变。
重复试验前先放回片。
हिन्दी: दोहराना (dohrānā)
प्रक्रिया फिर करना; बताएँ क्या समान रखा जाता है।
परीक्षण दोहराने से पहले गोटी लौटाएँ।
Попробуйте: Почему перед повторением важно вернуть жетон?
16. запи́сывать · record
Русский: запи́сывать (zapisyvat)
Точно сохранять наблюдения, включая неожиданные, не подгоняя их под прогноз.
Запишите синий, даже если ожидали красный.
English: record
Keep an accurate account, including surprising results instead of changing them to fit a prediction.
Record blue even when you expected red.
中文（普通话）: 记录 (jìlù)
准确保留结果，包括意外结果，不为迎合预测改动。
即使预期红色，也如实记录蓝色。
हिन्दी: दर्ज करना (darj karnā)
सही विवरण रखना; चौंकाने वाले परिणाम भी लिखना, अनुमान से मिलाने को बदलना नहीं।
लाल की उम्मीद थी, फिर भी नीला दर्ज करें।
Попробуйте: Запишите последовательность, не улучшая её рисунок.
17. частота́ · frequency
Русский: частота́ (chastota)
Число появлений исхода в заданной серии; здесь это количество, не процент.
В записи четырёх испытаний частота синего равна двум.
English: frequency
The number of times an outcome occurs in a stated set of trials; our tables use counts, not percentages.
In our four-trial record the frequency of blue is two.
中文（普通话）: 频数 (pínshù)
在指定一组试验中出现的次数；本课表格用次数，不是百分比。
四次记录中蓝色频数是二。
हिन्दी: बारंबारता (bārambārtā)
तय परीक्षण-समूह में परिणाम आने की गिनती; यहाँ प्रतिशत नहीं।
चार परीक्षणों में नीले की बारंबारता दो है।
Попробуйте: Назовите частоту синего и общее число испытаний.
18. сра́внивать · compare
Русский: сра́внивать (sravnivat)
Находить сходства и различия при ясно заданных вопросе и процедуре.
Сравнивайте состав мешков отдельно от короткой записи результатов.
English: compare
Examine similarities and differences while keeping the question and procedure clear.
Compare bag contents separately from the short result record.
中文（普通话）: 比较 (bǐjiào)
问题和流程清楚时，检查相同与不同。
分别比较袋内组成与短期记录。
हिन्दी: तुलना करना (tulnā karnā)
प्रश्न और प्रक्रिया स्पष्ट रखकर समानताएँ-अंतर देखना।
थैली की सामग्री और छोटे परिणाम-अभिलेख की अलग तुलना करें।
Попробуйте: Сравните A и B по составу, не только по последним результатам.
19. свиде́тельство · evidence
Русский: свиде́тельство (svidetelstvo)
Информация для обоснования; важно указать, что она подтверждает, а чего не доказывает.
Два синих — свидетельство произошедшего, не доказательство, что следующий обязан быть синим.
English: evidence
Information that supports reasoning; explain what it can and cannot establish.
Two blues are evidence of what happened, not proof that blue is due next.
中文（普通话）: 证据 (zhèngjù)
支持推理的信息，也要解释它能说明与不能说明什么。
两次蓝是已发生的证据，不证明下次该轮到蓝。
हिन्दी: साक्ष्य (sākṣya)
तर्क को सहारा देने वाली जानकारी; बताएँ इससे क्या स्थापित होता है और क्या नहीं।
दो नीले हुए का साक्ष्य हैं, अगला नीला होना तय नहीं।
Попробуйте: Что запись четырёх испытаний не доказывает?
20. де́лать вы́вод · conclude
Русский: де́лать вы́вод (delat vyvod)
Сформулировать, что следует из информации, сохраняя условия и ограничения.
Мы делаем вывод: синий возможен, но шансы цветов в двух мешках не одинаковы.
English: conclude
State what follows from the information, with its limits and conditions.
We conclude blue is possible, not that both bags have equal colour chances.
中文（普通话）: 得出结论 (déchū jiélùn)
说出信息支持什么，并带上范围与条件。
我们得出蓝色可能出现，不是两袋颜色机会相同。
हिन्दी: निष्कर्ष निकालना (niṣkarṣ nikālnā)
जानकारी से मिलने वाला निष्कर्ष, उसकी सीमा और शर्तों सहित बताना।
निष्कर्ष है कि नीला संभव है, दोनों थैलियों के रंग-मौके बराबर नहीं।
Попробуйте: Начните вывод словами «В этой модели…».
История и числовые записи оригинальные и вымышленные, не результаты реального класса. Идеальная модель — допущение, а не доказательство идеального перемешивания любого мешка. Таблица состава отвечает о шансах модели, таблица испытаний — о случившемся в короткой серии.
Различайте два вида чисел. В A четыре физических жетона: три красных и один синий. В записи тоже четыре испытания, но это четыре выбора, не четыре навсегда вынутых предмета. После возвращения тот же синий может выпасть снова. Равные частоты короткой серии не превращают состав 3:1 в 2:2.
| Мешок | Красных | Синих | Шанс красного | Шанс синего |
|---|---|---|---|---|
| A | 3 | 1 | 3/4 | 1/4 |
| B | 2 | 2 | 2/4 = 1/2 | 2/4 = 1/2 |
| Испытание | Наблюдаемый цвет | Состав после возвращения |
|---|---|---|
| 1 | Синий | 3 красных, 1 синий |
| 2 | Красный | 3 красных, 1 синий |
| 3 | Синий | 3 красных, 1 синий |
| 4 | Красный | 3 красных, 1 синий |
Русский · Два названия цвета
Нила нарисовала два кружка и подписала: КРАСНЫЙ и СИНИЙ. «Два цвета — значит, каждому половина», — сказала она. Омар посмотрел на состав A: три красных жетона и один синий, во всём остальном одинаковые. «Посчитаем, какие жетоны дают каждый цвет».
Они представили идеальный выбор, при котором каждый из четырёх жетонов равновероятен. Три давали красный, один — синий. Нила сохранила два названия, но исправила объяснение: «Красный вероятнее. Синий возможен, хотя маловероятен. Зелёный при этом составе невозможен».
Для вымышленной записи взяли последовательность: синий, красный, синий, красный. После каждой попытки жетон возвращали и снова перемешивали. Синий появился дважды за четыре испытания. «В записи два синих и два красных, — сказал Омар. — Но в мешке по-прежнему три красных и один синий». Четыре испытания не означали четыре навсегда вынутых жетона.
Нила чуть не сказала, что мешок стал справедливым. Затем проверила правило игры: один игрок побеждает на красном, второй на синем, раунд решается одним выбором. В модели A давал преимущество красному игроку. Короткая ничья в записи не уравнивала шансы.
В B было по два жетона каждого цвета. При той же идеальной процедуре цвета были равновероятны. Но и четыре выбора из B не обязаны дать по два каждого. Справедливые шансы не обещают ровного деления короткой серии.
«А если красный выпал три раза подряд, теперь очередь синего?» — спросила Нила. Омар показал шаг возвращения: «Каждый раз состав восстанавливается. В нашей независимой модели шанс синего в A остаётся один из четырёх. Он может выпасть следующим, но не обязан».
Их вывод был точным: «Мы предсказываем более вероятное, записываем случившееся и исправляем утверждение, если ошибочно рассуждение. Не переписываем результат лишь потому, что он удивил».
English · The Two Colour Names
Nila drew two circles on a page and labelled them RED and BLUE. “Two colours means half each,” she said. Omar looked at bag A’s list: three red tokens and one blue, all otherwise identical. “Let’s count the tokens that can give each colour,” he suggested.
They imagined an ideal draw in which each of the four tokens had the same chance. Three tokens led to red; one led to blue. Nila kept her two colour labels but changed her explanation. “Red is more likely. Blue is possible, though unlikely. Green is impossible with these contents.”
For their story record they used the sequence blue, red, blue, red. After each draw they returned the token and mixed again. Blue appeared twice in four trials. “The count is two blues and two reds,” said Omar. “But the bag still has three red tokens and one blue.”
Nila almost said the bag had become fair. Then she checked the agreed game rule: one player wins on red, the other on blue, with one draw deciding a round. Under the model, bag A favoured the red player. A short tied record did not give the players equal chances.
They checked bag B, which had two red and two blue tokens. With the same ideal procedure, B gave equal colour chances. Even so, four draws from B did not have to produce two of each. Fairness of chances was not a promise of an evenly split short record.
“Suppose red appeared three times in a row,” Nila asked. “Would blue be due?” Omar pointed to the replacement step. “The bag resets each time. In our independent model, blue would still have one chance out of four in A. It can happen next, but it does not have to.”
Their final sentence was careful: “We can predict what is more likely, record what happened and change a claim when its reasoning fails. We do not change a result just because it surprises us.”
中文（普通话） · 两个颜色名称
妮拉在纸上画两个圆，写红和蓝。“两种颜色，就是各一半。”奥马尔看A袋清单：三红一蓝，其他特征相同。“数数哪些片能给出每种颜色吧。”
他们想象理想抽取，四片各有同样机会。三片通向红色，一片通向蓝色。妮拉保留两个颜色名称，却改了解释：“红色更可能。蓝色可能，但不太可能。这个组成没有绿，所以绿色不可能。”
故事记录采用蓝、红、蓝、红。每次抽后放回并混匀。四次中蓝出现两次。奥马尔说：“记录二蓝二红，袋内仍三红一蓝。”四次试验不是取走四片，同一蓝片能再抽到。
妮拉差点说袋变公平了，便重看约定游戏：一人选红，一人选蓝，一抽定一轮。模型中A偏向红方。短期打平不让双方机会变相等。
再看B袋，两红两蓝，同样理想流程下颜色机会相等。不过B抽四次也不必二红二蓝。机会公平，不保证短期记录平均分配。
“若连出三红，下次该轮蓝吗？”妮拉问。奥马尔指放回步骤：“每次恢复同样组成。在独立模型中，A的蓝仍占四份之一。下次能出蓝，却不是必须蓝。”
他们最后写：“可预测较可能什么，如实记实际结果，推理有错就改陈述。不因结果意外而改结果。”他们用另一语言的同号词卡再说一遍，先保留意思，再换词。
हिन्दी · दो रंगों के नाम
नीला ने कागज़ पर दो गोले बनाकर लाल और नीला लिखा। ‘दो रंग मतलब आधा-आधा,’ उसने कहा। ओमर ने A की सूची देखी: तीन लाल गोटियाँ, एक नीली, बाकी सब समान। उसने कहा, ‘हर रंग देने वाली अलग गोटियाँ गिनें।’
उन्होंने आदर्श चयन सोचा जिसमें चारों गोटियों का समान मौका था। तीन से लाल, एक से नीला। नीला ने दोनों रंग-नाम रखे, पर व्याख्या सुधारी: ‘लाल अधिक संभावित है। नीला संभव है, मगर कम संभावित। इस सामग्री में हरा असंभव है।’
कहानी का क्रम नीला, लाल, नीला, लाल था। हर बार गोटी लौटाकर फिर मिलाया। चार परीक्षणों में नीला दो बार आया। ओमर बोला, ‘गिनती दो नीली और दो लाल है। पर थैली में अभी भी तीन लाल-एक नीली हैं।’ चार परीक्षण चार गोटियाँ हमेशा के लिए निकालना नहीं थे।
नीला लगभग कहने लगी कि थैली निष्पक्ष बन गई। फिर खेल का तय नियम देखा: एक खिलाड़ी लाल पर जीतेगा, दूसरा नीले पर; एक चयन से एक दौर तय होगा। मॉडल में A लाल खिलाड़ी के पक्ष में था। छोटा बराबरी वाला अभिलेख जीत के मौके बराबर नहीं करता।
B में दो लाल-दो नीली थीं। उसी आदर्श प्रक्रिया में रंगों के मौके बराबर थे। फिर भी B से चार बार निकालने पर ठीक दो-दो आना आवश्यक नहीं था। मौके निष्पक्ष होना छोटी श्रृंखला बराबर बँटने का वादा नहीं है।
‘अगर लगातार तीन लाल आएँ, तो अब नीला आना चाहिए?’ नीला ने पूछा। ओमर ने लौटाने वाला कदम दिखाया। ‘हर बार वही सामग्री फिर रहती है। स्वतंत्र मॉडल में A से नीले का मौका अब भी चार में एक होगा। अगला नीला हो सकता है, होना आवश्यक नहीं।’
आखिर उन्होंने लिखा: ‘हम अधिक संभावित का पूर्वानुमान लगाते हैं, जो हुआ उसे दर्ज करते हैं और तर्क गलत हो तो कथन सुधारते हैं। चौंकाने वाला परिणाम मिटाते नहीं।’
Отвечайте устно, показывайте таблицу или рисуйте подписанный мешок. Полное объяснение полезнее быстрого ярлыка. Попробуйте: «Я думаю ___, потому что ___; это не значит ___». Держите допущения перед глазами; сначала можно объяснить на знакомом языке.
1. Почему двух названий цветов недостаточно для равных шансов?
2. Синий в A невозможен? Обоснуйте составом.
3. Что достоверно и что невозможно при одном выборе из A?
4. В записи синий, красный, синий, красный каковы частоты?
5. Делает ли ничейная запись A справедливым для нашей игры?
6. Обязаны ли четыре выбора из B дать ровно два красных?
7. После трёх красных из A синий теперь обязан выпасть?
8. Что изменится, если единственный синий из A убрать без возвращения?
9. Где красный вероятнее: C с 4 красными и 2 синими или D с одним каждого?
10. Что проверить, прежде чем доверять физическому опыту?
Подсказки для обсуждения
Четыре жетона равновероятны: три дают красный, один синий. Считайте равные элементарные шансы, не только группы.
Нет. Синий жетон есть: шанс 1 из 4, возможен, но менее вероятен, чем красный.
Красный или синий достоверен, зелёный невозможен при неизменном заданном составе.
Синий 2, красный 2 за 4 испытания. Это наблюдения, а не новый состав мешка.
Нет. Правило требует равных шансов победы; A по-прежнему даёт красному 3 из 4, синему 1 из 4.
Нет. Равные шансы независимых испытаний не задают частоты короткой серии.
Нет. С возвращением и независимостью шанс синего остаётся 1 из 4; запись не обязана себя уравновешивать.
Останутся три красных: следующий синий невозможен, красный достоверен. Это изменённая процедура, не наш опыт с возвращением.
В C: 4/6 больше 1/2. Шесть жетонов C можно сгруппировать в три пары: две красные, одна синяя. В D шансы равны.
Состав, одинаковость на ощупь, отсутствие подсматривания и выбора, запись, возвращение, перемешивание. Реальная процедура может отличаться от идеальной модели.
На занятие может хватить пяти–десяти спокойных минут; при усталости остановитесь раньше. План гибкий, не обещает освоения за неделю. Повторяйте небольшой контраст, а не все двадцать слов ежедневно. Вместо жетонов подойдут рисунки. Не нужны сотни опытов или заранее желаемый порядок.
| День | Слова | Небольшое задание | Что заметить |
|---|---|---|---|
| 1 | 1–5 | Нарисуйте A; назовите возможное, невозможное, достоверное. | Каждое сильное утверждение связано с составом. |
| 2 | 6–10 | Сравните вероятное и достоверное; найдите равные шансы B. | Равные шансы не задают следующий цвет. |
| 3 | 11–15 | Объясните правило и шаги опыта. | Случайный выбор жетона может давать неравные шансы цветов. |
| 4 | 16–20 | Прочтите четыре испытания и ограничьте вывод. | Описывайте случившееся, не меняя состава. |
| 5 | 1–20 | Прочтите историю на знакомом языке. | Найдите ошибку подсчёта двух цветов. |
| 6 | Пять выбранных | Откройте те же карточки на другом языке. | Выражение меняется, смысл сохраняется. |
| 7 | Повторение | Объясните C и D без ответов. | Сравните доли, затем повторите одно неуверенное слово. |
Если ребёнок говорит «пополам, ведь два цвета», временно назовите жетоны R1, R2, R3, B1. Какие дают красный? Три. Синий? Один. Когда группировка ясна, номера можно убрать. Исправляется единица счёта, а не заучивается необъяснённая дробь.
Если трудность — «теперь обязан быть синий», разделите запись и мешок. Запись растёт, состав после возвращения остаётся 3:1. Что физически изменилось, увеличив шанс синего? В независимой модели — ничего. Не требуйте результата, прерывающего серию: оба следующих цвета совместимы с моделью.
При верном объяснении и заминке в переводе сохраните рассуждение и потренируйте языковую связь. При беглом слове, но смешении прогноза с гарантией вернитесь к одному синему в A. Пробел в словаре и в рассуждении требуют разных шагов; это не диагноз ребёнку.
Ищите объяснение, работающее с новым мешком. В C четыре красных и два синих, каждый из шести равновероятен: красный 4 из 6, синий 2 из 6. Оба возможны, красный вероятнее. В D по одному: шансы цветов равны. Меньшее число жетонов само по себе не повышает шанс цвета; сравнивайте долю.
Проверка: «Я могу назвать состав, описать неопределённый следующий исход и сообщить частоту, ничего не переписывая». Объясните C на одном языке и найдите слова на другом. Новые испытания дают данные, но длинная запись не гарантирует следующий результат и не позволяет игнорировать способ выбора.
| Мешок | Красных | Синих | Шанс красного | Шанс синего |
|---|---|---|---|---|
| C | 4 | 2 | 4/6 = 2/3 | 2/6 = 1/3 |
| D | 1 | 1 | 1/2 | 1/2 |
Случайный означает равные шансы всех цветов?
Нет. Здесь идеальный выбор уравнивает шансы жетонов, но цвет с большим их числом объединяет больше шансов. Уточняйте, что равновероятно.
Вероятный значит достоверный?
Нет. Красный в A вероятен, но отдельная попытка может дать синий. Достоверное верно для любого допустимого исхода; здесь красный или синий.
Если случилось менее вероятное, прогноз ошибочен?
Утверждение о гарантии было бы неверно. Обоснованный прогноз большей вероятности может оставаться верным при другом исходе. Проверьте формулировку, модель и процедуру, не стирайте результат.
Справедливость означает равные результаты?
Не в нашей игре с одним выбором: равны шансы игроков до попытки. Другим играм нужны свои критерии, правила и награды; не переносите одно определение на все общественные ситуации.
Зачем возвращать жетон?
Чтобы восстановить состав. Вместе с допущением независимого идеального выбора это сохраняет шансы следующего цвета. Одно возвращение не доказывает хорошего перемешивания.
Больше испытаний гарантируют точное соотношение?
Никакая фиксированная конечная серия не обязана точно совпасть с долями модели. Аккуратные новые испытания дают полезные данные, но не гарантируют следующий цвет. Исследуйте ошибки процедуры, не скрывайте неудобные наблюдения.
Нужно сначала выучить дроби?
Нет. Сначала покажите жетоны и скажите «три способа из четырёх». Позже дробь обозначит этот смысл. Сохраняйте допущение равных шансов жетонов; цель не в заучивании 3/4 без условий.
Как учить четыре языка без перегрузки?
Сохраняйте один смысл и небольшой пример. Объясните на сильном языке, откройте ту же карточку в другой версии и потренируйте короткую фразу. Пять понятых слов — полезное занятие; завершать все версии необязательно.
Материалы для взрослых
Материалы для взрослых о назначении вероятностей и сравнении модели с экспериментом. Мешки, записи, карточки и история — оригинальные примеры. Допущение равных шансов жетонов явно указано; реальные классные данные и национальная программа не заявляются.
- AMSI · Assigning probabilities to outcomes
- NRICH · Tricky Track: experimental and theoretical probability
Продолжить обучение
Вместимость и измерение жидкостей · 7–9 лет · Статьи о словах