8–10 वर्ष · क्षेत्रफल और परिमाप
सीखने का अगला कदम चुनें
ढका क्षेत्र या सीमा की लंबाई चुनें, फिर इकाई और तरीका समझाएँ।
अध्याय-सूची · सुधार का उदाहरण · चर्चा और जाँच · शब्दावली लेख
दो आकृतियाँ वही बारह वर्गाकार टुकड़े लेकर भी अलग लंबाई की किनारी माँग सकती हैं। लगभग 8–10 वर्ष के बच्चों के लिए मुख्य विचार है: क्षेत्रफल ढका क्षेत्र मापता है, परिमाप उसकी सीमा के चारों ओर की लंबाई। पहले छोटे आयताकार जाल देखते हैं, फिर सूत्र। आयु मार्गदर्शक है, परीक्षा नहीं; वयस्क पढ़कर पहले पाँच शब्द ले सकते हैं।
चारों संस्करणों में मिलते क्रमांक, अर्थ, उदाहरण और मौलिक कहानी हैं। हर कार्ड का लिंक अंग्रेज़ी, मंदारिन, हिन्दी या रूसी का वही अर्थ खोलता है। पहले परिचित भाषा में विचार समझाएँ, फिर दूसरी अभिव्यक्ति लें। दूसरे संदर्भ में अर्थ बदल सकता है; ये अनुवाद इसी गणितीय संदर्भ के हैं।
मंदारिन में सरल चीनी और स्वरयुक्त पिनयिन है। हिन्दी-रूसी में लगभग रोमन संकेत हैं; रूसी बलाघात चिह्न सीखने हेतु हैं, सामान्य लेखन में प्रायः नहीं। कुशल वक्ता सुनना भी उपयोगी है। संख्यात्मक मॉडल काल्पनिक हैं, स्क्रीन या किसी कक्षा के माप नहीं; राष्ट्रीय पाठ्यक्रम का दावा नहीं।
अध्याय-सूची
1–4 · गणना से पहले मात्रा चुनें
5–8 · ढकना और गिनना: शब्द 11–15
9–12 · सात दिन का सहज अभ्यास
पहले पूछें क्या मापना है। समतल कार्ड ढकना क्षेत्रफल है: पूरा भरने वाले समान इकाई वर्ग गिनें। किनारे घूमना परिमाप है: पूरी सीमा की लंबाइयाँ एक बार जोड़ें। वही आकृति, अलग प्रश्न। एक मात्रा की सही संख्या दूसरी के प्रश्न का गलत उत्तर हो सकती है।
सुधार का उदाहरण
सुधार: ‘A 3 गुणा 4 इकाई है, इसलिए परिमाप 3 × 4 = 12।’ सही माप और गुणन बचाएँ। गुणन तीन पंक्तियों के चार वर्ग गिनता है: क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई। परिमाप में चार बाहरी भुजाएँ: 4 + 3 + 4 + 3 = 14 लंबाई इकाई। तरीका-प्रश्न का मेल सुधारें, गुणन तथ्य नहीं।
हमारे आयत का क्षेत्रफल लंबाई × चौड़ाई है क्योंकि समान इकाई वर्ग पूरी बराबर पंक्तियाँ बनाते हैं। परिमाप लंबाई + चौड़ाई + लंबाई + चौड़ाई, या पास की भुजाओं के योग का दुगुना। यह आयत के लिए है, हर आकृति के पास लिखी दो संख्याएँ गुणने का नियम नहीं। पहले समान लंबाई इकाई लें।
तालिका जोड़ियों में लें: क्षेत्रफल-परिमाप, पंक्ति-स्तंभ, खाली जगह-चढ़ना। दूसरी भाषा से पहले वस्तु दिखाएँ। क्षेत्रफल के लिए वर्ग का क्षेत्र छुएँ; परिमाप के लिए रेखा पर चलें। छोटा संकेत नए शब्दों में अंतर बचाता है। पूरी तालिका लिखे बिना बोलना भी ठीक है।
समावेशी गणितीय परिभाषा में वर्ग विशेष आयत है। चीनी 长方形 यहाँ इस संबंध में 正方形 को शामिल करता है; सामान्य कक्षा नाम कभी अलग रख सकते हैं। केवल चार बराबर भुजाएँ पर्याप्त नहीं, चार समकोण भी चाहिए। घुमाने या लंबाई-चौड़ाई नाम बदलने से क्षेत्रफल-परिमाप नहीं बदलते।
1. क्षेत्रफल · area
हिन्दी: क्षेत्रफल (kṣetraphal)
समतल क्षेत्र कितना स्थान घेरता है; वर्ग इकाइयों में माप।
A का क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई है।
English: area
How much of a flat region is covered, measured in square units.
A covers 12 square units.
中文（普通话）: 面积 (miànjī)
平面区域覆盖多少，用平方单位量。
A覆盖12平方单位。
Русский: пло́щадь (ploshchad)
Сколько места занимает плоская область; измеряется в квадратных единицах.
Площадь A — 12 квадратных единиц.
आज़माएँ: केवल किनारा नहीं, ढका क्षेत्र दिखाएँ।
2. परिमाप · perimeter
हिन्दी: परिमाप (parimāp)
बंद आकृति की सीमा के चारों ओर की कुल लंबाई।
A का परिमाप 14 लंबाई इकाई है।
English: perimeter
The total distance around a closed shape’s boundary.
A’s perimeter is 14 length units.
中文（普通话）: 周长 (zhōucháng)
封闭图形边界一周的总长度。
A周长14长度单位。
Русский: пери́метр (perimetr)
Общая длина границы замкнутой фигуры.
Периметр A — 14 единиц длины.
आज़माएँ: A की चार बाहरी भुजाएँ एक-एक बार लें।
3. सीमा · boundary
हिन्दी: सीमा (sīmā)
क्षेत्र को बाहर से अलग करने वाला किनारा; अंदर के जोड़ बाहरी सीमा नहीं।
केवल A की बाहरी सीमा पर चलें।
English: boundary
The edge separating a region from what is outside it; internal tile joins are not its outside boundary.
Trace only the outside boundary of A.
中文（普通话）: 边界 (biānjiè)
把区域与外面分开的边缘；片间接缝不属于外边界。
只沿A外边界描一周。
Русский: грани́ца (granitsa)
Край, отделяющий область от внешнего пространства; внутренние стыки плиток не внешняя граница.
Обведите только внешнюю границу A.
आज़माएँ: भीतरी जोड़ दिखाएँ, बाहरी किनारा क्यों नहीं?
4. सतह · surface
हिन्दी: सतह (satah)
वस्तु का बाहरी भाग; यहाँ केवल समतल ऊपरी सतह, ठोस की सभी सतहें नहीं।
हम समतल सतह को वर्गाकार टुकड़ों से ढकते हैं।
English: surface
The face of an object; here we study only a flat top face, not every face of a solid.
We cover the flat surface with square tiles.
中文（普通话）: 表面 (biǎomiàn)
物体的面；本课只研究平的顶面，不是立体所有面。
我们用正方形片覆盖平表面。
Русский: пове́рхность (poverkhnost)
Сторона предмета; здесь рассматриваем только плоскую верхнюю поверхность, не все грани тела.
Мы покрываем плоскую поверхность квадратными плитками.
आज़माएँ: कार्ड की कौन-सी सतह ढक रहे हैं?
5. वर्ग इकाई · square unit
हिन्दी: वर्ग इकाई (varg ikāī)
चुनी लंबाई इकाई की एक-एक भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल।
एक टुकड़े का क्षेत्रफल एक वर्ग इकाई है, चार नहीं।
English: square unit
An area unit represented by a square with each side one chosen length unit.
One tile has area one square unit, not four.
中文（普通话）: 平方单位 (píngfāng dānwèi)
边长为一个选定长度单位的正方形所表示的面积单位。
一片面积一平方单位，不是四。
Русский: квадра́тная едини́ца (kvadratnaya yedinitsa)
Единица площади: квадрат со стороной в одну выбранную единицу длины.
Площадь одной плитки — одна квадратная единица, не четыре.
आज़माएँ: एक इकाई भुजा का वर्ग बनाकर क्षेत्रफल लिखें।
6. लंबाई · length
हिन्दी: लंबाई (lambāī)
दूरी का माप; यहाँ आयत की एक भुजा का माप, क्षेत्रफल नहीं।
A की भुजाएँ 4 और 3 इकाई हैं।
English: length
A measure of distance; here one of a rectangle’s side measurements, not its area.
A has side lengths 4 units and 3 units.
中文（普通话）: 长度 (chángdù)
距离的量度；在此指长方形的一边长度，不是面积。
A两种边长是4单位和3单位。
Русский: длина́ (dlina)
Мера расстояния; здесь размер одной стороны прямоугольника, не площадь.
Стороны A имеют длины 4 и 3 единицы.
आज़माएँ: A की दोनों भुजाओं के माप और इकाई कहें।
7. चौड़ाई · width
हिन्दी: चौड़ाई (cauṛāī)
आड़ा माप; हमारे आयत में नामित लंबाई के लंबवत भुजा का माप।
A की नामित चौड़ाई 3 इकाई है।
English: width
The across measurement; in our rectangles it is the side perpendicular to the labelled length.
A’s labelled width is 3 units.
中文（普通话）: 宽度 (kuāndù)
横向尺寸；本课长方形中与标为长的边垂直的边长。
A标注宽度3单位。
Русский: ширина́ (shirina)
Поперечный размер; в наших прямоугольниках сторона, перпендикулярная названной длине.
Обозначенная ширина A — 3 единицы.
आज़माएँ: आयत घुमाएँ; चौड़ाई सदा आड़ी होना ज़रूरी?
8. आयत · rectangle
हिन्दी: आयत (āyat)
चार समकोण वाली चार-भुजी समतल आकृति; सामने की भुजाएँ बराबर।
3 गुणा 4 और 2 गुणा 6 दोनों आयत हैं।
English: rectangle
A four-sided flat shape with four right angles; opposite sides have equal lengths.
Both the 3-by-4 and 2-by-6 arrangements are rectangles.
中文（普通话）: 长方形 (chángfāngxíng)
四个直角的平面四边形，对边等长；这里包括正方形。
3乘4与2乘6排列都是长方形。
Русский: прямоуго́льник (pryamougolnik)
Плоский четырёхугольник с четырьмя прямыми углами; противоположные стороны равны.
Расположения 3 на 4 и 2 на 6 — прямоугольники.
आज़माएँ: चार समकोण का महत्व समझाएँ।
9. वर्ग · square
हिन्दी: वर्ग (varg)
चार बराबर भुजाओं वाला आयत; घुमाने से यह गुण नहीं बदलता।
C तीन इकाई भुजा का वर्ग है।
English: square
A rectangle whose four sides have equal lengths; turning it does not change that.
C is a square with side length 3 units.
中文（普通话）: 正方形 (zhèngfāngxíng)
四边等长的特殊长方形，转动后仍是正方形。
C是边长3单位的正方形。
Русский: квадра́т (kvadrat)
Прямоугольник с четырьмя равными сторонами; поворот не меняет этого.
C — квадрат со стороной 3 единицы.
आज़माएँ: C वर्ग और आयत दोनों क्यों?
10. पंक्ति · row
हिन्दी: पंक्ति (paṅkti)
चुने दृश्य में आड़ी कतार; हर पंक्ति में बराबर वर्ग कितने, बताएँ।
A में 4 वर्गों की 3 पंक्तियाँ हैं।
English: row
A line of items across a chosen view; say how many equal squares are in each row.
A has 3 rows of 4 unit squares.
中文（普通话）: 行 (háng)
按选定方向横排的一列物件，要说每行几块相同方格。
A有3行，每行4个单位正方形。
Русский: ряд (ryad)
Линия элементов поперёк выбранного вида; укажите число равных квадратов в каждом ряду.
В A три ряда по четыре единичных квадрата.
आज़माएँ: A को पंक्तियों से गिनें: चार, आठ, बारह।
11. स्तंभ · column
हिन्दी: स्तंभ (stambh)
चुने दृश्य में खड़ी कतार; पंक्ति और स्तंभ वही जाल व्यवस्थित करते हैं।
A में 3 वर्गों के 4 स्तंभ भी हैं।
English: column
A line of items down a chosen view; rows and columns give two ways to organise the same array.
A also has 4 columns of 3 squares.
中文（普通话）: 列 (liè)
按选定方向竖排的一列；行与列组织同一阵列。
A也有4列，每列3格。
Русский: столбе́ц (stolbets)
Вертикальная линия элементов в выбранном виде; ряды и столбцы организуют один массив.
В A также четыре столбца по три квадрата.
आज़माएँ: A को तीन-तीन के स्तंभों से फिर गिनें।
12. ढकना · cover
हिन्दी: ढकना (ḍhaknā)
मापने को क्षेत्र पर इकाइयाँ रखना; पूरी एक परत, बिना खाली जगह या एक-दूसरे पर चढ़े।
बारह समान टुकड़े A को पूरा ढकते हैं।
English: cover
Place units over a region to measure it; use a complete single layer with no gaps or overlaps.
Twelve equal tiles cover A completely.
中文（普通话）: 覆盖 (fùgài)
用单位铺满区域来量，须单层无空隙无重叠。
十二片相同方片恰好铺满A。
Русский: покрыва́ть (pokryvat)
Заполнить область единицами измерения в один слой, без промежутков и наложений.
Двенадцать равных плиток полностью покрывают A.
आज़माएँ: पूरी सही एक-परत ढकाई बताएँ।
13. खाली जगह · gap
हिन्दी: खाली जगह (khālī jagah)
इकाइयों के बीच न ढका स्थान; केवल टुकड़े गिनने से पूरा क्षेत्रफल नहीं मिलता।
आयत ढकते समय खाली जगह न छोड़ें।
English: gap
An uncovered space between units; it prevents a tile count alone from measuring the whole region.
Leave no gap when tiling the rectangle.
中文（普通话）: 空隙 (kòngxì)
单位间没覆盖的地方，使单靠片数不能量完整区域。
铺长方形时不留空隙。
Русский: проме́жуток (promezhutok)
Незаполненное место между единицами; при нём одного числа плиток недостаточно для площади всей области.
При заполнении прямоугольника не оставляйте промежутков.
आज़माएँ: खाली जगह से गिनती अधूरी क्यों?
14. एक-दूसरे पर चढ़ना · overlap
हिन्दी: एक-दूसरे पर चढ़ना (ek-dūsre par caṛhnā)
एक टुकड़ा दूसरे का कुछ भाग ढके; पूरी गिनती कुछ जगह दो बार गिनेगी।
क्षेत्रफल गिनते समय टुकड़े एक-दूसरे पर न चढ़ें।
English: overlap
Have one piece cover part of another; counting full tiles then counts some places more than once.
The tiles must not overlap in our area count.
中文（普通话）: 重叠 (chóngdié)
一片盖在另一片部分上，数整片便重复数一些地方。
面积计数时方片不能重叠。
Русский: перекрыва́ться (perekryvatsya)
Частично лежать друг на друге; счёт целых плиток тогда учитывает часть места дважды.
При подсчёте площади плитки не должны перекрываться.
आज़माएँ: चढ़े टुकड़ों में कौन-सी जगह दो बार गिनी?
15. गिनना · count
हिन्दी: गिनना (ginnā)
पहले सही तरह की इकाई चुनकर उनकी संख्या पता करना।
क्षेत्रफल के लिए वर्ग, परिमाप के लिए बाहरी इकाई किनारे गिनें।
English: count
Determine how many units there are, choosing the correct kind of unit first.
Count squares for area and outside unit edges for perimeter.
中文（普通话）: 计数 (jìshù)
先选对单位种类，再确定有多少。
面积数方格，周长数外边单位线段。
Русский: счита́ть (schitat)
Определять число единиц, сначала выбрав нужный их вид.
Для площади считайте квадраты, для периметра — внешние единичные отрезки.
आज़माएँ: एक वर्ग से एक टुकड़ा-चार किनारे अलग करें।
16. गुणा करना · multiply
हिन्दी: गुणा करना (guṇā karnā)
गुणन करना; पूरे आयताकार जाल में बराबर पंक्तियों से कुल वर्ग मिलते हैं।
3 पंक्तियाँ गुणा हर पंक्ति के 4 वर्ग = 12।
English: multiply
Use multiplication; in a complete rectangular array, equal row counts give the total number of squares.
Multiply 3 rows by 4 squares in each row to get 12.
中文（普通话）: 相乘 (xiāngchéng)
使用乘法，完整矩形阵列中相同行数可求总格数。
3行乘每行4格得12格。
Русский: умножа́ть (umnozhat)
Использовать умножение; в полном прямоугольном массиве равные ряды дают общее число квадратов.
Умножьте 3 ряда на 4 квадрата в каждом: получится 12.
आज़माएँ: 3 × 4 को तीन बराबर पंक्तियों से जोड़ें।
17. तुलना करना · compare
हिन्दी: तुलना करना (tulnā karnā)
एक ही तरह और आकार की इकाई में मात्राएँ देखना; किसकी तुलना है, बताएँ।
पहले A-B के क्षेत्रफल, फिर परिमाप तुलना करें।
English: compare
Examine quantities using the same kind and size of unit; name which quantity you compare.
Compare A and B’s areas, then their perimeters.
中文（普通话）: 比较 (bǐjiào)
用同类同大小单位查看量，并说清在比哪种量。
先比较A、B面积，再比周长。
Русский: сра́внивать (sravnivat)
Сопоставлять величины в единицах одного вида и размера; уточнять, что сравнивается.
Сначала сравните площади A и B, затем периметры.
आज़माएँ: समान वर्ग इकाई में क्षेत्रफल से क्षेत्रफल तुलना करें।
18. बराबर · equal
हिन्दी: बराबर (barābar)
किसी तय मात्रा में समान; बराबर क्षेत्रफल का अर्थ एक जैसी आकृति नहीं।
A-B के क्षेत्रफल बराबर, परिमाप अलग हैं।
English: equal
Having the same amount of a specified quantity; equal area does not imply identical shape.
A and B have equal areas but unequal perimeters.
中文（普通话）: 相等的 (xiāngděng de)
指定量一样多；面积相等不意味形状完全相同。
A、B面积相等，周长不相等。
Русский: ра́вный (ravnyy)
Имеющий одинаковую величину в указанном отношении; равные площади не означают одинаковых фигур.
Площади A и B равны, периметры различны.
आज़माएँ: पूरा करें: A-B का ___ बराबर, ___ अलग।
19. समझाना · explain
हिन्दी: समझाना (samjhānā)
तरीका माँगी मात्रा के लिए सही क्यों है, बताएँ; केवल अंतिम संख्या नहीं।
भीतर का जोड़ बाहरी परिमाप में क्यों नहीं जुड़ता, समझाएँ।
English: explain
Give the reason a method fits the quantity, not only the final number.
Explain why an inside join does not add to the outside perimeter.
中文（普通话）: 解释 (jiěshì)
说方法为何符合所求量，不只报数字。
解释内部接缝为何不计外周长。
Русский: объясня́ть (obyasnyat)
Показывать, почему способ подходит к величине, а не только называть ответ.
Объясните, почему внутренний стык не входит во внешний периметр.
आज़माएँ: सही गुणन रखते हुए सुधार समझाएँ।
20. जाँचना · check
हिन्दी: जाँचना (jā̃cnā)
अर्थ, इकाई और दूसरे उचित तरीके से उत्तर परखना।
3 × 4 को 4 + 4 + 4 से जाँचें।
English: check
Test an answer using its meaning, units and another sensible method.
Check 3 × 4 by adding 4 + 4 + 4.
中文（普通话）: 检查 (jiǎnchá)
按意思、单位及另一合理方法核查答案。
用4+4+4检查3×4。
Русский: проверя́ть (proveryat)
Проверять ответ по смыслу, единицам и другому подходящему способу.
Проверьте 3 × 4 сложением 4 + 4 + 4.
आज़माएँ: पंक्तियों से क्षेत्रफल, पूरे बाहर घूमकर परिमाप जाँचें।
तालिकाएँ और कहानी मौलिक कल्पित व्यवस्थाएँ हैं, फोटो की वस्तुएँ नहीं। हर आदर्श वर्ग टुकड़े की भुजा एक लंबाई इकाई, क्षेत्रफल एक वर्ग इकाई। पूरी एक समतल परत, किनारे मिले, कोई खाली जगह या चढ़ाव नहीं। सभी में वही लंबाई इकाई। दिए माप लें, स्क्रीन न मापें।
A में 4 के 3 पंक्ति, B में उन्हीं बारह के 6 की 2 पंक्तियाँ। दोनों क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई; बाहरी परिमाप 14 और 16 लंबाई इकाई। कोई टुकड़ा खिंचा, खोया या ऊपर नहीं रखा। यहाँ पुनर्व्यवस्था कुल क्षेत्रफल बचाती है, बाहरी सीमा की लंबाई आवश्यक नहीं। परिमाप में अंदर जोड़ नहीं।
| व्यवस्था | पंक्तियाँ | हर पंक्ति में वर्ग | क्षेत्रफल (वर्ग इकाई) | परिमाप (लंबाई इकाई) |
|---|---|---|---|---|
| A | 3 | 4 | 12 | 14 |
| B | 2 | 6 | 12 | 16 |
| व्यवस्था | चार बाहरी भुजाएँ (लंबाई इकाई) | कुल परिमाप (लंबाई इकाई) |
|---|---|---|
| A | 4 + 3 + 4 + 3 | 14 |
| B | 6 + 2 + 6 + 2 | 16 |
हिन्दी · वही बारह टुकड़े
मीरा ने बारह वर्गाकार टुकड़े चार की तीन पंक्तियों में रखे। हर टुकड़े की भुजा एक इकाई थी। ‘यह A है, क्षेत्रफल बारह वर्ग इकाई,’ उसने देव से कहा। हर पंक्ति छूकर गिना: चार, आठ, बारह।
देव ने परिमाप के पास 3 × 4 = 12 लिखा। मीरा ने गुणन नहीं काटा। ‘यह अंदर के वर्ग गिनता है। इसे क्षेत्रफल के लिए रखकर बाहर का अलग हिसाब करें?’ उन्होंने A की चार भुजाएँ देखीं: चार, तीन, चार, तीन। कुल चौदह लंबाई इकाई। देव ने दो नाम लिखे: क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई, परिमाप 14 लंबाई इकाई।
फिर उन्हीं बारह टुकड़ों को छह की दो पंक्तियों में रखा, बिना खाली जगह या चढ़ाव के। यह B था। ‘वही टुकड़े हैं, तो सब समान होगा,’ देव कहने लगा, फिर रुका। ढका क्षेत्र बारह वर्ग इकाई था, पर बाहरी रास्ता छह जमा दो जमा छह जमा दो: सोलह लंबाई इकाई।
‘क्षेत्रफल बराबर रहा, परिमाप दो लंबाई इकाई बढ़ा,’ मीरा बोली। लंबी सँकरी आकृति की एक भुजा अधिक होने से क्षेत्रफल अपने-आप अधिक नहीं हुआ। कोई टुकड़ा खिंचा या दूसरे के नीचे छिपा नहीं था।
देव ने B के अंदर कुछ जोड़ गिने। मीरा ने छोटा यात्री सोचा जो केवल बाहर घूमता है। यात्री अंदर के जोड़ पर नहीं चलता। देव ने वे जोड़ परिमाप के हिसाब से हटाए, चित्र से नहीं। वे क्षेत्रफल गिनने में अभी उपयोगी थे।
आखिर उन्हीं इकाइयों में दो नए चित्र बने। C तीन गुणा तीन, D दो गुणा चार। दोनों परिमाप बारह लंबाई इकाई, क्षेत्रफल नौ और आठ वर्ग इकाई। अब बराबर परिमाप से बराबर क्षेत्रफल नहीं मिला।
मीरा ने लिखा: ‘दो आकृतियाँ बराबर कहने से पहले कौन-सा माप बराबर, बताओ।’ देव ने जोड़ा: ‘गिनने से पहले किस तरह की इकाई गिन रहे हो, बताओ।’ उन्होंने चित्र, नाम और सुधरी व्याख्या साथ रखे।
English · The Same Twelve Tiles
Mira placed twelve square tiles in three rows of four. Each tile had side length one unit. “This is arrangement A,” she told Dev. “Its area is twelve square units.” She touched each row once: four, eight, twelve.
Dev wrote 3 × 4 = 12 beside the word perimeter. Mira did not cross out the multiplication. “That counts the inside squares,” she said. “Can we keep it for area and make another calculation for the outside?”
They traced A’s four sides: four units, three units, four units, three units. The total was fourteen length units. Dev wrote two labels: area 12 square units; perimeter 14 length units. The numbers now answered different questions clearly.
Next they rearranged all twelve tiles into two rows of six, with no gaps or overlaps. This was B. “We used the same pieces, so everything must be the same,” Dev began. Then he paused. The pieces covered twelve square units, but the outside walk was six plus two plus six plus two: sixteen length units.
“The area stayed equal,” Mira said, “but the perimeter grew by two length units.” The long narrow rectangle did not cover more area simply because one side was longer. Nothing had been stretched or hidden under another tile.
Dev counted some tile joins inside B. Mira imagined a tiny walker travelling only around the outside. The walker never followed the inside joins. Dev removed those joins from his perimeter calculation, not from the drawing.
They finished with two fresh drawings in the same units. C was three by three, D two by four. Both perimeters were twelve length units. Their areas were nine and eight square units. This time equal perimeter did not mean equal area.
Mira wrote their final rule: “Before saying two shapes are equal, say which measurement is equal.” Dev added, “Before counting, say what kind of unit you are counting.” They kept the drawings, the labels and the repaired explanation together.
中文（普通话） · 同样十二片
米拉把十二片正方形片排三行，每行四片。每片边长一单位。“这是A，面积十二平方单位。”她一行一行指数：四、八、十二。
德夫在周长旁写3×4=12。米拉没划掉乘法。“这数的是里面方格。留作面积，再为外边另算好吗？”他们沿A四边走：四、三、四、三，合十四长度单位。德夫写两标签：面积12平方单位，周长14长度单位。数字各答不同问题。
然后十二片重排成两行每行六片，无隙无叠，这是B。“同片，所以什么都相同。”德夫刚说便停了。覆盖仍十二平方单位，外边却六加二加六加二，十六长度单位。
“面积相等，周长多二长度单位。”米拉说。窄长矩形不会只因一边较长就面积较大。没有拉伸，也没片藏在别片下面。组成区域变样，片总面积未变。
德夫数起B内部接缝。米拉请他想象小人只绕最外面走，小人不会沿内部缝。他从周长计算中移去那些缝，不是把画中的缝擦掉。内部线可保留帮助数面积，却不属于外周长。
最后同单位画新图，C三乘三，D二乘四。周长都十二长度单位，面积却九与八平方单位。这次周长相等不代表面积相等。
米拉写：“说两图相等前，先说哪种量相等。”德夫加：“计数前，先说数哪种单位。”他们把图、标签和修正解释放在一起，再用另一语言找到面积和周长的同号词卡。
Русский · Те же двенадцать плиток
Мира выложила двенадцать квадратных плиток в три ряда по четыре. Сторона каждой была в одну единицу. «Это A, — сказала она Деву. — Площадь — двенадцать квадратных единиц». Она показывала ряды: четыре, восемь, двенадцать.
Дев написал 3 × 4 = 12 возле слова «периметр». Мира не зачеркнула умножение. «Оно считает внутренние квадраты. Сохраним для площади, а снаружи посчитаем отдельно?» Они обвели четыре стороны A: четыре, три, четыре, три. Всего четырнадцать единиц длины. Дев подписал обе величины: площадь 12 квадратных единиц, периметр 14 единиц длины.
Затем все двенадцать плиток переставили в два ряда по шесть, без промежутков и наложений. Получилась B. «Плитки те же — значит, всё одинаковое», — начал Дев и остановился. Покрытие оставалось в двенадцать квадратных единиц, но путь снаружи составлял шесть плюс два плюс шесть плюс два: шестнадцать единиц длины.
«Площади равны, а периметр увеличился на две единицы длины», — сказала Мира. Более длинная сторона узкого прямоугольника сама по себе не делала площадь больше. Ни одну плитку не растянули и не спрятали под другой.
Дев стал считать внутренние стыки B. Мира предложила представить маленького путника, обходящего только внешний край. По внутренним стыкам он не шёл. Дев убрал эти линии из вычисления периметра, но не из рисунка: для подсчёта площади они оставались полезными.
В конце нарисовали две новые фигуры в тех же единицах. C — три на три, D — два на четыре. Оба периметра равнялись двенадцати единицам длины, площади — девяти и восьми квадратным единицам. Теперь равный периметр не давал равных площадей.
Мира записала: «Прежде чем сказать, что фигуры равны, назови равное измерение». Дев добавил: «Прежде чем считать, назови вид единицы». Рисунки, подписи и исправленное объяснение они оставили вместе.
प्रश्न बोलकर लें, नामयुक्त जाल बनाएँ या अभिलेख दिखाएँ। वाक्य लें: ‘मैं ___ माप रहा हूँ, इसलिए ___ गिनकर ___ इकाई लूँगा।’ गणना से पहले मात्रा चुनने का समय दें। नीचे जाँच-सहायता है; कारण तुलना करें, केवल उत्तर नहीं। पहले परिचित भाषा में समझाना ठीक है।
1. A में 3 × 4 किस प्रश्न का उत्तर?
2. क्षेत्रफल बिना A का परिमाप निकालें।
3. B की एक भुजा लंबी, तो क्षेत्रफल अधिक?
4. B का परिमाप और A से अंतर?
5. हर टुकड़े की चार भुजाएँ परिमाप में क्यों नहीं?
6. एक वर्ग की चार भुजा, तो क्षेत्रफल चार वर्ग इकाई?
7. खाली जगह वाले बारह टुकड़े पूरे क्षेत्र को बारह साबित करते हैं?
8. C-D के क्षेत्रफल-परिमाप और खारिज दावा?
9. A को बिना खींचे घुमाने पर क्या बदलेगा?
10. 4 गुणा 4 वर्ग के क्षेत्रफल-परिमाप दोनों संख्यात्मक 16 हैं। मात्राएँ बराबर?
चर्चा में सहायता
यह 12 इकाई वर्ग गिनता है: क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई, परिमाप 12 लंबाई इकाई नहीं।
चार बाहरी भुजाएँ: 4 + 3 + 4 + 3 = 14 लंबाई इकाई। भीतरी जोड़ नहीं।
नहीं। B में 6 की 2 पंक्तियाँ: 12 वर्ग इकाई, A बराबर। अकेला एक माप पर्याप्त नहीं।
6 + 2 + 6 + 2 = 16 लंबाई इकाई; 16 − 14 = 2 अधिक। क्षेत्रफल बराबर।
उसमें साझा भीतरी किनारे दो-दो बार हैं। संयुक्त आयत का परिमाप केवल बाहरी सीमा है।
नहीं। भुजा 1 पर क्षेत्रफल 1 × 1 = 1 वर्ग इकाई; परिमाप 4 लंबाई इकाई। टुकड़ा-किनारा अलग गिनती इकाई।
नहीं। खाली जगह ढकी नहीं। सीधी गिनती में पूरी एक परत, न खाली जगह, न चढ़ाव, न बाहर निकले भाग चाहिए।
C: 9 वर्ग इकाई, 12 लंबाई इकाई। D: 8 वर्ग इकाई, 12 लंबाई इकाई। बराबर परिमाप सदा बराबर क्षेत्रफल नहीं।
दिशा बदलेगी; क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई, परिमाप 14 लंबाई इकाई वही। पंक्ति-स्तंभ चुने दृश्य पर हैं।
मात्रा और इकाई अलग हैं। संख्यात्मक मान मिल सकते हैं, वर्ग इकाई लंबाई इकाई नहीं।
पाँच-दस सहज मिनट लें, ज़रूरत पर पहले रुकें। योजना लचीली है, सात दिन में महारत का वादा नहीं। बड़े सुरक्षित टुकड़े न हों तो वर्ग बनाएँ; छोटे बच्चों को छोटे ढीले टुकड़े न दें। रोज़ बीस परिभाषाएँ नकलने के बजाय छोटा अंतर लें। काटने या मापने के औज़ार वयस्क संभालें।
| दिन | शब्द | छोटी गतिविधि | क्या देखें |
|---|---|---|---|
| 1 | 1–5 | क्षेत्र दिखाएँ, फिर सीमा पर चलें। | क्षेत्रफल-परिमाप अलग प्रश्न। |
| 2 | 6–10 | A की 4 के 3 पंक्ति बनाएँ। | क्षेत्रफल में दोनों पास की भुजाएँ चाहिए। |
| 3 | 11–15 | स्तंभ से गिनें, खाली जगह-चढ़ाव जाँचें। | पूरी एक परत। |
| 4 | 16–20 | A का गुणन-बाहरी जोड़ समझाएँ। | हर उत्तर में इकाई रखें। |
| 5 | 1–20 | कहानी पढ़कर A-B तुलना करें। | बराबर क्षेत्रफल, परिमाप अलग हो सकते। |
| 6 | चुने पाँच | दूसरी भाषा में मिलते कार्ड खोलें। | अभिव्यक्ति बदले, अर्थ वही। |
| 7 | पुनरावृत्ति | उत्तर बिना C-D समझाएँ। | बराबर परिमाप, क्षेत्रफल अलग हो सकते। |
यदि दो संख्या देखते ही गुणा करे, गणना रखें पर पूछें समूह क्या हैं। चार की तीन पंक्तियाँ बारह वर्ग इकाई गिनती हैं, किनारा घूमना नहीं। फिर चार बाहरी भुजाओं पर चलकर लंबाई जोड़ें। अंदर भरने का संकेत क्षेत्रफल, बाहर चलना परिमाप। गति-परीक्षा नहीं चाहिए।
परिमाप अधिक हो तो अंदर के जोड़ जाँचें। टाइल क्षेत्र पार किए बिना बाहर घूमना सोचें। साझा किनारे संयुक्त आयत के अंदर हैं, उस राह में नहीं। यदि बाहरी किनारों के बजाय बाहरी टुकड़े गिने, एक वर्ग लें: एक टुकड़ा, पर चार इकाई किनारे।
तर्क सही पर अनूदित शब्द कठिन हो तो गणित रखें, एक भाषा-कड़ी अभ्यासें। शब्द सहज पर ‘बराबर’ में मात्रा न बताए तो A-B लें: क्षेत्रफल बराबर, परिमाप अलग। शब्द, गिनती की इकाई और गणना चूक के सुधार अलग हैं; बच्चे का निदान नहीं।
उन्हीं इकाइयों में दो नए रूप लें। C 3 गुणा 3 वर्ग: क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई, परिमाप 12 लंबाई इकाई। D 2 गुणा 4 आयत: क्षेत्रफल 8, परिमाप 12। अब परिमाप बराबर पर क्षेत्रफल अलग। ‘बराबर परिमाप हमेशा बराबर क्षेत्रफल’ खारिज करने को एक प्रतिउदाहरण पर्याप्त है।
देखें: ‘मैं मात्रा चुनकर इकाई दे सकता हूँ और अपनी गिनती का कारण बता सकता हूँ।’ C एक भाषा में समझाएँ, दूसरी में शब्द खोजें। अगला काम बिना खींचे आयत घुमाकर बताएँ दोनों माप समान क्यों। दिए माप स्थिर रखें; स्क्रीन पर आकार बदलना नया मापन नहीं।
| व्यवस्था | पंक्तियाँ | हर पंक्ति में वर्ग | क्षेत्रफल (वर्ग इकाई) | परिमाप (लंबाई इकाई) |
|---|---|---|---|---|
| C | 3 | 3 | 9 | 12 |
| D | 2 | 4 | 8 | 12 |
क्षेत्रफल और परिमाप एक हैं?
नहीं। क्षेत्रफल वर्ग इकाई में क्षेत्र, परिमाप लंबाई इकाई में सीमा मापता है। गणना प्रश्न की मात्रा से मिले, केवल दी संख्या से नहीं।
बराबर क्षेत्रफल से बराबर परिमाप?
हमेशा नहीं। 3 गुणा 4 और 2 गुणा 6 दोनों 12 वर्ग इकाई; परिमाप 14 और 16 लंबाई इकाई। कौन-सा माप तुलना है, कहें।
बराबर परिमाप से बराबर क्षेत्रफल?
हमेशा नहीं। C-D परिमाप 12 लंबाई इकाई, क्षेत्रफल 9 और 8 वर्ग इकाई। उदाहरण ‘हमेशा’ खारिज करते हैं, दोनों माप कभी समान न हो सकने का दावा नहीं।
क्षेत्रफल में वर्ग इकाई क्यों?
वर्ग इकाई दो-आयामी क्षेत्र ढकती है, हर भुजा एक लंबाई इकाई। बिना खाली जगह या चढ़ाव के पूरे बराबर वर्ग कवरेज मापते हैं। सीमा का रास्ता केवल लंबाई, अलग इकाई।
वर्ग भी आयत है?
यहाँ की समावेशी परिभाषा में हाँ: चार समकोण और चार बराबर भुजाएँ। हर आयत वर्ग नहीं। केवल रूप या दिशा नहीं, गुण जाँचें।
क्षेत्रफल के लिए दो भुजाएँ सदा गुणें?
नहीं। आयत में पास की लंबाई-चौड़ाई पूरी बराबर पंक्तियाँ तय करती हैं। दूसरी आकृति का अपना उचित तर्क चाहिए। पहले आकृति, माँगी मात्रा और सही माप पहचानें।
क्षेत्रफल-परिमाप की संख्या समान हो सकती?
हाँ। 4 लंबाई इकाई भुजा का वर्ग: क्षेत्रफल 16 वर्ग इकाई, परिमाप 16 लंबाई इकाई। संख्याएँ मिलती हैं, मात्राओं के प्रकार या इकाई नहीं। केवल इन संख्याओं से एक को दूसरे से बड़ा न कहें।
चार भाषाएँ सहज कैसे?
एक अर्थ-उदाहरण स्थिर रखें, सहज भाषा में समझाकर दूसरी का वही कार्ड खोलें। चार परिभाषाएँ नकलने के बजाय छोटा वाक्य लें। पाँच समझे शब्द एक सत्र के लिए पर्याप्त; हर संस्करण समाप्त करना वैकल्पिक।
वयस्कों के लिए पृष्ठभूमि-पठन
वयस्क पृष्ठभूमि क्षेत्रफल, परिमाप और समान संख्याएँ बताती है। दूसरा स्रोत वैकल्पिक वयस्क विस्तार, इस आयु की तैयारी की शर्त नहीं। व्यवस्थाएँ, अभिलेख, कहानी, कार्ड मौलिक उदाहरण; वास्तविक कक्षा या राष्ट्रीय पाठ्यक्रम का दावा नहीं।