8–10 лет · Площадь и периметр
Выберите следующий шаг
Выберите покрытие или длину границы, затем объясните единицы и способ.
Содержание · Разбор ошибки · Обсуждение и проверка · Статьи о словах
Две фигуры могут состоять из тех же двенадцати квадратных плиток, но требовать разной длины окантовки. Главная мысль урока для детей примерно 8–10 лет: площадь измеряет заполненную область, периметр — длину её границы. Начнём с небольших прямоугольных массивов, чтобы смысл был виден до формул. Возраст — ориентир, не проверка: взрослый может читать вслух и начать с пяти слов.
Четыре версии имеют одинаковые номера, значения, примеры и общую оригинальную историю. Ссылка под карточкой ведёт к тому же значению на английском, китайском, хинди или русском. Сначала объясните на знакомом языке, затем попробуйте другое выражение. У слова бывают иные значения; переводы соответствуют этому математическому контексту.
Китайский записан упрощёнными иероглифами и пиньинем с тонами. Для хинди и русского есть приблизительные подсказки латиницей; русские ударения учебные и обычно не пишутся в обычном тексте. Это не заменяет слушания уверенного говорящего. Числовые модели вымышлены, не являются измерениями экрана или класса и не заявляют национальную программу.
Содержание
1–4 · Выберите величину до действия
5–8 · Покрытие и подсчёт: слова 11–15
9–12 · Спокойный план на семь дней
Сначала спросите, что измеряем. Покрытие плоской карточки — площадь: считайте равные единичные квадраты, точно её заполняющие. Обход края — периметр: сложите длины всей границы один раз. Фигура одна, вопросы разные. Верное число для одной величины может быть неверным ответом о другой.
Разбор ошибки
Разбор ошибки: «A размером 3 на 4, значит, периметр 3 × 4 = 12». Сохраните верные размеры и произведение. Оно считает три ряда по четыре квадрата: площадь 12 квадратных единиц. Для периметра обойдите четыре внешние стороны: 4 + 3 + 4 + 3 = 14 единиц длины. Исправляется связь способа с вопросом, не факт умножения.
Для наших прямоугольников площадь равна длине × ширине: равные квадраты образуют полные одинаковые ряды. Периметр — длина + ширина + длина + ширина, или удвоенная сумма соседних сторон. Это объяснение для прямоугольника, не указание перемножать любые два числа возле любой фигуры. Сначала приведите длины к одной единице.
Читайте полезными парами: площадь и периметр, ряд и столбец, промежуток и наложение. Перед переводом покажите объект слова. Для площади укажите квадратную область, для периметра обведите линию. Жест сохраняет различие при новых словах. Можно объяснять устно, не переписывая таблицу.
Используем включающее определение: квадрат — особый прямоугольник. Китайское 长方形 здесь включает 正方形 при обсуждении связи, хотя в обычных названиях их иногда разделяют. Для квадрата кроме четырёх равных сторон нужны четыре прямых угла. Поворот или перестановка названий длины и ширины не меняют площадь и периметр.
1. пло́щадь · area
Русский: пло́щадь (ploshchad)
Сколько места занимает плоская область; измеряется в квадратных единицах.
Площадь A — 12 квадратных единиц.
English: area
How much of a flat region is covered, measured in square units.
A covers 12 square units.
中文（普通话）: 面积 (miànjī)
平面区域覆盖多少，用平方单位量。
A覆盖12平方单位。
हिन्दी: क्षेत्रफल (kṣetraphal)
समतल क्षेत्र कितना स्थान घेरता है; वर्ग इकाइयों में माप।
A का क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई है।
Попробуйте: Покажите заполненную область, не только край.
2. пери́метр · perimeter
Русский: пери́метр (perimetr)
Общая длина границы замкнутой фигуры.
Периметр A — 14 единиц длины.
English: perimeter
The total distance around a closed shape’s boundary.
A’s perimeter is 14 length units.
中文（普通话）: 周长 (zhōucháng)
封闭图形边界一周的总长度。
A周长14长度单位。
हिन्दी: परिमाप (parimāp)
बंद आकृति की सीमा के चारों ओर की कुल लंबाई।
A का परिमाप 14 लंबाई इकाई है।
Попробуйте: Обведите четыре внешние стороны A по одному разу.
3. грани́ца · boundary
Русский: грани́ца (granitsa)
Край, отделяющий область от внешнего пространства; внутренние стыки плиток не внешняя граница.
Обведите только внешнюю границу A.
English: boundary
The edge separating a region from what is outside it; internal tile joins are not its outside boundary.
Trace only the outside boundary of A.
中文（普通话）: 边界 (biānjiè)
把区域与外面分开的边缘；片间接缝不属于外边界。
只沿A外边界描一周。
हिन्दी: सीमा (sīmā)
क्षेत्र को बाहर से अलग करने वाला किनारा; अंदर के जोड़ बाहरी सीमा नहीं।
केवल A की बाहरी सीमा पर चलें।
Попробуйте: Найдите внутренний стык и объясните отличие от внешнего края.
4. пове́рхность · surface
Русский: пове́рхность (poverkhnost)
Сторона предмета; здесь рассматриваем только плоскую верхнюю поверхность, не все грани тела.
Мы покрываем плоскую поверхность квадратными плитками.
English: surface
The face of an object; here we study only a flat top face, not every face of a solid.
We cover the flat surface with square tiles.
中文（普通话）: 表面 (biǎomiàn)
物体的面；本课只研究平的顶面，不是立体所有面。
我们用正方形片覆盖平表面。
हिन्दी: सतह (satah)
वस्तु का बाहरी भाग; यहाँ केवल समतल ऊपरी सतह, ठोस की सभी सतहें नहीं।
हम समतल सतह को वर्गाकार टुकड़ों से ढकते हैं।
Попробуйте: Назовите поверхность карточки, которую покрываем.
5. квадра́тная едини́ца · square unit
Русский: квадра́тная едини́ца (kvadratnaya yedinitsa)
Единица площади: квадрат со стороной в одну выбранную единицу длины.
Площадь одной плитки — одна квадратная единица, не четыре.
English: square unit
An area unit represented by a square with each side one chosen length unit.
One tile has area one square unit, not four.
中文（普通话）: 平方单位 (píngfāng dānwèi)
边长为一个选定长度单位的正方形所表示的面积单位。
一片面积一平方单位，不是四。
हिन्दी: वर्ग इकाई (varg ikāī)
चुनी लंबाई इकाई की एक-एक भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल।
एक टुकड़े का क्षेत्रफल एक वर्ग इकाई है, चार नहीं।
Попробуйте: Нарисуйте квадрат со стороной в единицу и подпишите площадь.
6. длина́ · length
Русский: длина́ (dlina)
Мера расстояния; здесь размер одной стороны прямоугольника, не площадь.
Стороны A имеют длины 4 и 3 единицы.
English: length
A measure of distance; here one of a rectangle’s side measurements, not its area.
A has side lengths 4 units and 3 units.
中文（普通话）: 长度 (chángdù)
距离的量度；在此指长方形的一边长度，不是面积。
A两种边长是4单位和3单位。
हिन्दी: लंबाई (lambāī)
दूरी का माप; यहाँ आयत की एक भुजा का माप, क्षेत्रफल नहीं।
A की भुजाएँ 4 और 3 इकाई हैं।
Попробуйте: Назовите два размера сторон A с единицами длины.
7. ширина́ · width
Русский: ширина́ (shirina)
Поперечный размер; в наших прямоугольниках сторона, перпендикулярная названной длине.
Обозначенная ширина A — 3 единицы.
English: width
The across measurement; in our rectangles it is the side perpendicular to the labelled length.
A’s labelled width is 3 units.
中文（普通话）: 宽度 (kuāndù)
横向尺寸；本课长方形中与标为长的边垂直的边长。
A标注宽度3单位。
हिन्दी: चौड़ाई (cauṛāī)
आड़ा माप; हमारे आयत में नामित लंबाई के लंबवत भुजा का माप।
A की नामित चौड़ाई 3 इकाई है।
Попробуйте: Поверните прямоугольник: обязана ли ширина быть горизонтальной?
8. прямоуго́льник · rectangle
Русский: прямоуго́льник (pryamougolnik)
Плоский четырёхугольник с четырьмя прямыми углами; противоположные стороны равны.
Расположения 3 на 4 и 2 на 6 — прямоугольники.
English: rectangle
A four-sided flat shape with four right angles; opposite sides have equal lengths.
Both the 3-by-4 and 2-by-6 arrangements are rectangles.
中文（普通话）: 长方形 (chángfāngxíng)
四个直角的平面四边形，对边等长；这里包括正方形。
3乘4与2乘6排列都是长方形。
हिन्दी: आयत (āyat)
चार समकोण वाली चार-भुजी समतल आकृति; सामने की भुजाएँ बराबर।
3 गुणा 4 और 2 गुणा 6 दोनों आयत हैं।
Попробуйте: Объясните важность четырёх прямых углов.
9. квадра́т · square
Русский: квадра́т (kvadrat)
Прямоугольник с четырьмя равными сторонами; поворот не меняет этого.
C — квадрат со стороной 3 единицы.
English: square
A rectangle whose four sides have equal lengths; turning it does not change that.
C is a square with side length 3 units.
中文（普通话）: 正方形 (zhèngfāngxíng)
四边等长的特殊长方形，转动后仍是正方形。
C是边长3单位的正方形。
हिन्दी: वर्ग (varg)
चार बराबर भुजाओं वाला आयत; घुमाने से यह गुण नहीं बदलता।
C तीन इकाई भुजा का वर्ग है।
Попробуйте: Почему C — и квадрат, и прямоугольник?
10. ряд · row
Русский: ряд (ryad)
Линия элементов поперёк выбранного вида; укажите число равных квадратов в каждом ряду.
В A три ряда по четыре единичных квадрата.
English: row
A line of items across a chosen view; say how many equal squares are in each row.
A has 3 rows of 4 unit squares.
中文（普通话）: 行 (háng)
按选定方向横排的一列物件，要说每行几块相同方格。
A有3行，每行4个单位正方形。
हिन्दी: पंक्ति (paṅkti)
चुने दृश्य में आड़ी कतार; हर पंक्ति में बराबर वर्ग कितने, बताएँ।
A में 4 वर्गों की 3 पंक्तियाँ हैं।
Попробуйте: Считайте A рядами: четыре, восемь, двенадцать.
11. столбе́ц · column
Русский: столбе́ц (stolbets)
Вертикальная линия элементов в выбранном виде; ряды и столбцы организуют один массив.
В A также четыре столбца по три квадрата.
English: column
A line of items down a chosen view; rows and columns give two ways to organise the same array.
A also has 4 columns of 3 squares.
中文（普通话）: 列 (liè)
按选定方向竖排的一列；行与列组织同一阵列。
A也有4列，每列3格。
हिन्दी: स्तंभ (stambh)
चुने दृश्य में खड़ी कतार; पंक्ति और स्तंभ वही जाल व्यवस्थित करते हैं।
A में 3 वर्गों के 4 स्तंभ भी हैं।
Попробуйте: Посчитайте те же квадраты A столбцами по три.
12. покрыва́ть · cover
Русский: покрыва́ть (pokryvat)
Заполнить область единицами измерения в один слой, без промежутков и наложений.
Двенадцать равных плиток полностью покрывают A.
English: cover
Place units over a region to measure it; use a complete single layer with no gaps or overlaps.
Twelve equal tiles cover A completely.
中文（普通话）: 覆盖 (fùgài)
用单位铺满区域来量，须单层无空隙无重叠。
十二片相同方片恰好铺满A。
हिन्दी: ढकना (ḍhaknā)
मापने को क्षेत्र पर इकाइयाँ रखना; पूरी एक परत, बिना खाली जगह या एक-दूसरे पर चढ़े।
बारह समान टुकड़े A को पूरा ढकते हैं।
Попробуйте: Опишите правильное полное покрытие в один слой.
13. проме́жуток · gap
Русский: проме́жуток (promezhutok)
Незаполненное место между единицами; при нём одного числа плиток недостаточно для площади всей области.
При заполнении прямоугольника не оставляйте промежутков.
English: gap
An uncovered space between units; it prevents a tile count alone from measuring the whole region.
Leave no gap when tiling the rectangle.
中文（普通话）: 空隙 (kòngxì)
单位间没覆盖的地方，使单靠片数不能量完整区域。
铺长方形时不留空隙。
हिन्दी: खाली जगह (khālī jagah)
इकाइयों के बीच न ढका स्थान; केवल टुकड़े गिनने से पूरा क्षेत्रफल नहीं मिलता।
आयत ढकते समय खाली जगह न छोड़ें।
Попробуйте: Почему промежуток делает подсчёт неполным?
14. перекрыва́ться · overlap
Русский: перекрыва́ться (perekryvatsya)
Частично лежать друг на друге; счёт целых плиток тогда учитывает часть места дважды.
При подсчёте площади плитки не должны перекрываться.
English: overlap
Have one piece cover part of another; counting full tiles then counts some places more than once.
The tiles must not overlap in our area count.
中文（普通话）: 重叠 (chóngdié)
一片盖在另一片部分上，数整片便重复数一些地方。
面积计数时方片不能重叠。
हिन्दी: एक-दूसरे पर चढ़ना (ek-dūsre par caṛhnā)
एक टुकड़ा दूसरे का कुछ भाग ढके; पूरी गिनती कुछ जगह दो बार गिनेगी।
क्षेत्रफल गिनते समय टुकड़े एक-दूसरे पर न चढ़ें।
Попробуйте: Что учитывается дважды при наложении плиток?
15. счита́ть · count
Русский: счита́ть (schitat)
Определять число единиц, сначала выбрав нужный их вид.
Для площади считайте квадраты, для периметра — внешние единичные отрезки.
English: count
Determine how many units there are, choosing the correct kind of unit first.
Count squares for area and outside unit edges for perimeter.
中文（普通话）: 计数 (jìshù)
先选对单位种类，再确定有多少。
面积数方格，周长数外边单位线段。
हिन्दी: गिनना (ginnā)
पहले सही तरह की इकाई चुनकर उनकी संख्या पता करना।
क्षेत्रफल के लिए वर्ग, परिमाप के लिए बाहरी इकाई किनारे गिनें।
Попробуйте: На одном квадрате различите одну плитку и четыре стороны.
16. умножа́ть · multiply
Русский: умножа́ть (umnozhat)
Использовать умножение; в полном прямоугольном массиве равные ряды дают общее число квадратов.
Умножьте 3 ряда на 4 квадрата в каждом: получится 12.
English: multiply
Use multiplication; in a complete rectangular array, equal row counts give the total number of squares.
Multiply 3 rows by 4 squares in each row to get 12.
中文（普通话）: 相乘 (xiāngchéng)
使用乘法，完整矩形阵列中相同行数可求总格数。
3行乘每行4格得12格。
हिन्दी: गुणा करना (guṇā karnā)
गुणन करना; पूरे आयताकार जाल में बराबर पंक्तियों से कुल वर्ग मिलते हैं।
3 पंक्तियाँ गुणा हर पंक्ति के 4 वर्ग = 12।
Попробуйте: Свяжите 3 × 4 с тремя одинаковыми рядами, не только правилом.
17. сра́внивать · compare
Русский: сра́внивать (sravnivat)
Сопоставлять величины в единицах одного вида и размера; уточнять, что сравнивается.
Сначала сравните площади A и B, затем периметры.
English: compare
Examine quantities using the same kind and size of unit; name which quantity you compare.
Compare A and B’s areas, then their perimeters.
中文（普通话）: 比较 (bǐjiào)
用同类同大小单位查看量，并说清在比哪种量。
先比较A、B面积，再比周长。
हिन्दी: तुलना करना (tulnā karnā)
एक ही तरह और आकार की इकाई में मात्राएँ देखना; किसकी तुलना है, बताएँ।
पहले A-B के क्षेत्रफल, फिर परिमाप तुलना करें।
Попробуйте: Сравните площадь с площадью в одной квадратной единице.
18. ра́вный · equal
Русский: ра́вный (ravnyy)
Имеющий одинаковую величину в указанном отношении; равные площади не означают одинаковых фигур.
Площади A и B равны, периметры различны.
English: equal
Having the same amount of a specified quantity; equal area does not imply identical shape.
A and B have equal areas but unequal perimeters.
中文（普通话）: 相等的 (xiāngděng de)
指定量一样多；面积相等不意味形状完全相同。
A、B面积相等，周长不相等。
हिन्दी: बराबर (barābar)
किसी तय मात्रा में समान; बराबर क्षेत्रफल का अर्थ एक जैसी आकृति नहीं।
A-B के क्षेत्रफल बराबर, परिमाप अलग हैं।
Попробуйте: Закончите: у A и B равны ___, но не ___.
19. объясня́ть · explain
Русский: объясня́ть (obyasnyat)
Показывать, почему способ подходит к величине, а не только называть ответ.
Объясните, почему внутренний стык не входит во внешний периметр.
English: explain
Give the reason a method fits the quantity, not only the final number.
Explain why an inside join does not add to the outside perimeter.
中文（普通话）: 解释 (jiěshì)
说方法为何符合所求量，不只报数字。
解释内部接缝为何不计外周长。
हिन्दी: समझाना (samjhānā)
तरीका माँगी मात्रा के लिए सही क्यों है, बताएँ; केवल अंतिम संख्या नहीं।
भीतर का जोड़ बाहरी परिमाप में क्यों नहीं जुड़ता, समझाएँ।
Попробуйте: Объясните исправление, сохранив верное умножение.
20. проверя́ть · check
Русский: проверя́ть (proveryat)
Проверять ответ по смыслу, единицам и другому подходящему способу.
Проверьте 3 × 4 сложением 4 + 4 + 4.
English: check
Test an answer using its meaning, units and another sensible method.
Check 3 × 4 by adding 4 + 4 + 4.
中文（普通话）: 检查 (jiǎnchá)
按意思、单位及另一合理方法核查答案。
用4+4+4检查3×4。
हिन्दी: जाँचना (jā̃cnā)
अर्थ, इकाई और दूसरे उचित तरीके से उत्तर परखना।
3 × 4 को 4 + 4 + 4 से जाँचें।
Попробуйте: Проверьте площадь рядами, периметр — полным внешним обходом.
Таблицы и история — оригинальные воображаемые расположения, не фотографии предметов. Каждая плитка — идеальный квадрат со стороной в одну единицу длины и площадью в одну квадратную единицу. Один полный плоский слой, край к краю, без промежутков и наложений. Единица одинакова во всех фигурах. Используйте заданные размеры, не измеряйте экран.
В A три ряда по четыре, в B те же двенадцать плиток в двух рядах по шесть. Площади обеих фигур — 12 квадратных единиц, внешние периметры — 14 и 16 единиц длины. Ничего не растягивали, не теряли и не складывали слоями. Перестановка здесь сохраняет площадь покрытия, но не обязательно внешнюю границу. Внутренние стыки в периметр не входят.
| Фигура | Рядов | Квадратов в ряду | Площадь (кв. единицы) | Периметр (ед. длины) |
|---|---|---|---|---|
| A | 3 | 4 | 12 | 14 |
| B | 2 | 6 | 12 | 16 |
| Фигура | Четыре внешние стороны (ед. длины) | Периметр (ед. длины) |
|---|---|---|
| A | 4 + 3 + 4 + 3 | 14 |
| B | 6 + 2 + 6 + 2 | 16 |
Русский · Те же двенадцать плиток
Мира выложила двенадцать квадратных плиток в три ряда по четыре. Сторона каждой была в одну единицу. «Это A, — сказала она Деву. — Площадь — двенадцать квадратных единиц». Она показывала ряды: четыре, восемь, двенадцать.
Дев написал 3 × 4 = 12 возле слова «периметр». Мира не зачеркнула умножение. «Оно считает внутренние квадраты. Сохраним для площади, а снаружи посчитаем отдельно?» Они обвели четыре стороны A: четыре, три, четыре, три. Всего четырнадцать единиц длины. Дев подписал обе величины: площадь 12 квадратных единиц, периметр 14 единиц длины.
Затем все двенадцать плиток переставили в два ряда по шесть, без промежутков и наложений. Получилась B. «Плитки те же — значит, всё одинаковое», — начал Дев и остановился. Покрытие оставалось в двенадцать квадратных единиц, но путь снаружи составлял шесть плюс два плюс шесть плюс два: шестнадцать единиц длины.
«Площади равны, а периметр увеличился на две единицы длины», — сказала Мира. Более длинная сторона узкого прямоугольника сама по себе не делала площадь больше. Ни одну плитку не растянули и не спрятали под другой.
Дев стал считать внутренние стыки B. Мира предложила представить маленького путника, обходящего только внешний край. По внутренним стыкам он не шёл. Дев убрал эти линии из вычисления периметра, но не из рисунка: для подсчёта площади они оставались полезными.
В конце нарисовали две новые фигуры в тех же единицах. C — три на три, D — два на четыре. Оба периметра равнялись двенадцати единицам длины, площади — девяти и восьми квадратным единицам. Теперь равный периметр не давал равных площадей.
Мира записала: «Прежде чем сказать, что фигуры равны, назови равное измерение». Дев добавил: «Прежде чем считать, назови вид единицы». Рисунки, подписи и исправленное объяснение они оставили вместе.
English · The Same Twelve Tiles
Mira placed twelve square tiles in three rows of four. Each tile had side length one unit. “This is arrangement A,” she told Dev. “Its area is twelve square units.” She touched each row once: four, eight, twelve.
Dev wrote 3 × 4 = 12 beside the word perimeter. Mira did not cross out the multiplication. “That counts the inside squares,” she said. “Can we keep it for area and make another calculation for the outside?”
They traced A’s four sides: four units, three units, four units, three units. The total was fourteen length units. Dev wrote two labels: area 12 square units; perimeter 14 length units. The numbers now answered different questions clearly.
Next they rearranged all twelve tiles into two rows of six, with no gaps or overlaps. This was B. “We used the same pieces, so everything must be the same,” Dev began. Then he paused. The pieces covered twelve square units, but the outside walk was six plus two plus six plus two: sixteen length units.
“The area stayed equal,” Mira said, “but the perimeter grew by two length units.” The long narrow rectangle did not cover more area simply because one side was longer. Nothing had been stretched or hidden under another tile.
Dev counted some tile joins inside B. Mira imagined a tiny walker travelling only around the outside. The walker never followed the inside joins. Dev removed those joins from his perimeter calculation, not from the drawing.
They finished with two fresh drawings in the same units. C was three by three, D two by four. Both perimeters were twelve length units. Their areas were nine and eight square units. This time equal perimeter did not mean equal area.
Mira wrote their final rule: “Before saying two shapes are equal, say which measurement is equal.” Dev added, “Before counting, say what kind of unit you are counting.” They kept the drawings, the labels and the repaired explanation together.
中文（普通话） · 同样十二片
米拉把十二片正方形片排三行，每行四片。每片边长一单位。“这是A，面积十二平方单位。”她一行一行指数：四、八、十二。
德夫在周长旁写3×4=12。米拉没划掉乘法。“这数的是里面方格。留作面积，再为外边另算好吗？”他们沿A四边走：四、三、四、三，合十四长度单位。德夫写两标签：面积12平方单位，周长14长度单位。数字各答不同问题。
然后十二片重排成两行每行六片，无隙无叠，这是B。“同片，所以什么都相同。”德夫刚说便停了。覆盖仍十二平方单位，外边却六加二加六加二，十六长度单位。
“面积相等，周长多二长度单位。”米拉说。窄长矩形不会只因一边较长就面积较大。没有拉伸，也没片藏在别片下面。组成区域变样，片总面积未变。
德夫数起B内部接缝。米拉请他想象小人只绕最外面走，小人不会沿内部缝。他从周长计算中移去那些缝，不是把画中的缝擦掉。内部线可保留帮助数面积，却不属于外周长。
最后同单位画新图，C三乘三，D二乘四。周长都十二长度单位，面积却九与八平方单位。这次周长相等不代表面积相等。
米拉写：“说两图相等前，先说哪种量相等。”德夫加：“计数前，先说数哪种单位。”他们把图、标签和修正解释放在一起，再用另一语言找到面积和周长的同号词卡。
हिन्दी · वही बारह टुकड़े
मीरा ने बारह वर्गाकार टुकड़े चार की तीन पंक्तियों में रखे। हर टुकड़े की भुजा एक इकाई थी। ‘यह A है, क्षेत्रफल बारह वर्ग इकाई,’ उसने देव से कहा। हर पंक्ति छूकर गिना: चार, आठ, बारह।
देव ने परिमाप के पास 3 × 4 = 12 लिखा। मीरा ने गुणन नहीं काटा। ‘यह अंदर के वर्ग गिनता है। इसे क्षेत्रफल के लिए रखकर बाहर का अलग हिसाब करें?’ उन्होंने A की चार भुजाएँ देखीं: चार, तीन, चार, तीन। कुल चौदह लंबाई इकाई। देव ने दो नाम लिखे: क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई, परिमाप 14 लंबाई इकाई।
फिर उन्हीं बारह टुकड़ों को छह की दो पंक्तियों में रखा, बिना खाली जगह या चढ़ाव के। यह B था। ‘वही टुकड़े हैं, तो सब समान होगा,’ देव कहने लगा, फिर रुका। ढका क्षेत्र बारह वर्ग इकाई था, पर बाहरी रास्ता छह जमा दो जमा छह जमा दो: सोलह लंबाई इकाई।
‘क्षेत्रफल बराबर रहा, परिमाप दो लंबाई इकाई बढ़ा,’ मीरा बोली। लंबी सँकरी आकृति की एक भुजा अधिक होने से क्षेत्रफल अपने-आप अधिक नहीं हुआ। कोई टुकड़ा खिंचा या दूसरे के नीचे छिपा नहीं था।
देव ने B के अंदर कुछ जोड़ गिने। मीरा ने छोटा यात्री सोचा जो केवल बाहर घूमता है। यात्री अंदर के जोड़ पर नहीं चलता। देव ने वे जोड़ परिमाप के हिसाब से हटाए, चित्र से नहीं। वे क्षेत्रफल गिनने में अभी उपयोगी थे।
आखिर उन्हीं इकाइयों में दो नए चित्र बने। C तीन गुणा तीन, D दो गुणा चार। दोनों परिमाप बारह लंबाई इकाई, क्षेत्रफल नौ और आठ वर्ग इकाई। अब बराबर परिमाप से बराबर क्षेत्रफल नहीं मिला।
मीरा ने लिखा: ‘दो आकृतियाँ बराबर कहने से पहले कौन-सा माप बराबर, बताओ।’ देव ने जोड़ा: ‘गिनने से पहले किस तरह की इकाई गिन रहे हो, बताओ।’ उन्होंने चित्र, नाम और सुधरी व्याख्या साथ रखे।
Обсудите вопросы, нарисуйте подписанные массивы или покажите запись. Фраза-помощник: «Я измеряю ___, поэтому считаю ___ в единицах ___». Дайте время выбрать величину до вычислений. Подсказки видны ниже; сравнивайте причины, не только ответы. Сначала можно объяснить на знакомом языке.
1. На какой вопрос об A отвечает 3 × 4?
2. Найдите периметр A, не используя площадь.
3. У B одна сторона длиннее: площадь больше?
4. Каков периметр B и насколько он больше A?
5. Почему не сложить четыре стороны каждой плитки для периметра?
6. У плитки четыре стороны: площадь четыре квадратные единицы?
7. Доказывают ли двенадцать плиток с промежутками площадь всей области 12?
8. Найдите площади и периметры C и D. Какое утверждение опровергают?
9. Что изменится при повороте A без растяжения?
10. У квадрата 4 на 4 численные значения площади и периметра — 16. Величины равны?
Подсказки для обсуждения
Считает 12 единичных квадратов покрытия: площадь 12 квадратных единиц, не периметр 12 единиц длины.
Сложите четыре внешние стороны: 4 + 3 + 4 + 3 = 14 единиц длины, без внутренних стыков.
Нет. В B два ряда по шесть: площадь 12 квадратных единиц, как у A. Одного размера недостаточно.
6 + 2 + 6 + 2 = 16 единиц длины; на 16 − 14 = 2 больше. Площади равны.
Так включаются внутренние стыки, каждый общий единичный отрезок дважды. Периметр объединённого прямоугольника — только внешняя граница.
Нет. При стороне 1 площадь 1 × 1 = 1 квадратная единица; периметр 4 единицы длины. Плитка и сторона — разные единицы счёта.
Нет. Промежутки не покрыты. Прямой подсчёт требует полного одного слоя без промежутков, наложений и выступания за измеряемую область.
C: 9 квадратных единиц и 12 единиц длины. D: 8 квадратных и 12 длины. Равные периметры не всегда дают равные площади.
Ориентация. Площадь 12 квадратных единиц и периметр 14 единиц длины сохраняются. Описание рядов и столбцов зависит от вида.
Это разные величины с разными единицами. Численные значения могут совпасть, но квадратная единица не единица длины.
Занимайтесь пять–десять спокойных минут, при необходимости меньше. План гибкий и не обещает освоения за семь дней. Вместо крупных безопасных плиток рисуйте квадраты; малышам мелкие детали не дают. Повторяйте небольшой контраст, не переписывайте двадцать определений ежедневно. Режущие и измерительные инструменты может использовать взрослый.
| День | Слова | Небольшое задание | Что заметить |
|---|---|---|---|
| 1 | 1–5 | Покажите область, затем обведите границу. | Площадь и периметр — разные вопросы. |
| 2 | 6–10 | Постройте A: три ряда по четыре квадрата. | Для площади нужны обе соседние стороны. |
| 3 | 11–15 | Считайте столбцами, проверьте промежутки и наложения. | Один полный слой. |
| 4 | 16–20 | Объясните умножение и сложение внешних сторон A. | Каждый ответ с единицей. |
| 5 | 1–20 | Прочтите историю, сравните A и B. | Равная площадь не гарантирует равного периметра. |
| 6 | Пять выбранных | Откройте те же карточки на другом языке. | Выражение меняется, смысл сохраняется. |
| 7 | Повторение | Объясните C и D без подсказок. | Равный периметр не гарантирует равной площади. |
Если ребёнок перемножает любые два числа, сохраните вычисление и спросите, что обозначают группы. Три ряда по четыре считают двенадцать квадратных единиц, не обход края. Затем обведите четыре стороны, складывая длины. Разные жесты помогают: заполнить внутри для площади, пройти снаружи для периметра. Скоростная проверка не нужна.
При слишком большом периметре проверьте внутренние стыки. Представьте обход снаружи без пересечения покрытия. Общие стороны плиток внутри прямоугольника не входят в путь. Если считаются граничные плитки вместо отрезков, возьмите один квадрат: плитка одна, внешних единичных сторон четыре.
При верном объяснении и трудном переводе сохраните математику и потренируйте одну языковую связь. Если слова беглые, но «равны» без величины, вернитесь к A и B: равные площади, разные периметры. Словарный пробел, неверная единица счёта и вычислительная описка требуют разных исправлений, не диагноза ребёнку.
ГЛАВА 11 ИЗ 12 · Исправить и продолжить
11. Проверяем прогресс на новых прямоугольниках
Две новые фигуры в тех же единицах. C — квадрат 3 на 3: площадь 9 квадратных единиц, периметр 12 единиц длины. D — прямоугольник 2 на 4: площадь 8, периметр 12. Теперь периметры равны, площади различны. Одного контрпримера достаточно против утверждения «равные периметры всегда дают равные площади».
Ищите: «Я выбираю величину, называю единицы и объясняю соответствие подсчёта». Объясните C на одном языке и найдите слова на другом. Следующий шаг — повернуть нарисованный прямоугольник без растяжения и объяснить неизменность обоих измерений. Заданные размеры сохраняются; масштаб экрана — не новое измерение.
| Фигура | Рядов | Квадратов в ряду | Площадь (кв. единицы) | Периметр (ед. длины) |
|---|---|---|---|---|
| C | 3 | 3 | 9 | 12 |
| D | 2 | 4 | 8 | 12 |
Площадь и периметр — одно и то же?
Нет. Площадь измеряет область в квадратных единицах, периметр — длину границы в единицах длины. Вычисление должно соответствовать вопросу, не просто данным числам.
Равные площади означают равные периметры?
Не всегда. Прямоугольники 3 на 4 и 2 на 6 имеют площадь 12 квадратных единиц, но периметры 14 и 16 единиц длины. Называйте сравниваемую величину.
Равные периметры означают равные площади?
Не всегда. У C и D периметр 12 единиц длины, площади 9 и 8 квадратных единиц. Это опровергает «всегда», но не утверждает невозможность равенства обоих измерений у двух фигур.
Почему площадь в квадратных единицах?
Единичный квадрат покрывает двумерную область со стороной в одну единицу длины. Полные равные квадраты без промежутков и наложений измеряют покрытие. Обход границы измеряет только длину.
Квадрат — тоже прямоугольник?
Да, по нашему включающему определению: четыре прямых угла и четыре равные стороны. Не каждый прямоугольник — квадрат. Проверяйте свойства, не только вид или поворот.
Всегда можно умножить две стороны для площади?
Нет. У прямоугольника соседние длина и ширина задают полные одинаковые ряды квадратов. Для других фигур нужно своё обоснование. Сначала определите фигуру, величину и подходящие размеры.
Числа у площади и периметра могут совпасть?
Да. Квадрат со стороной 4 имеет площадь 16 квадратных единиц и периметр 16 единиц длины. Совпадают числа, не виды величин или единицы. Нельзя по этим числам объявлять одну величину физически больше другой.
Как спокойно учить четыре языка?
Сохраняйте смысл и пример, объясните на сильном языке и откройте тот же номер в другой версии. Учите короткую фразу, не переписывайте четыре определения. Пяти понятых слов может хватить; завершать все версии необязательно.
Материалы для взрослых
Материалы для взрослых о площади, периметре и совпадении чисел. Второй источник — необязательное расширение для взрослых, не требование к готовности детей этого возраста. Фигуры, записи, история и карточки оригинальные, не реальные данные класса или заявление о национальной программе.